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二項式定理的推廣(四):和算家的數學表(下) (The generalization of Binomial theorem(IV):the mathematical table of wasan mathematicians)

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二項式定理的推廣(四):和算家的數學表(下) (The generalization of Binomial theorem(IV):the mathematical table of wasan mathematicians)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結:二項式定理的推廣(三):和算家的數學表(上) (The generalization of Binomial theorem(III):the mathematical table of wasan mathematicians)

在〈二項式定理的推廣(三):和算家的數學表(上)〉一文中,提到江戶時期日本數學家(和算家)利用數學表的方

式,推廣了二項式定理,以求得了p3展開式之各項係數表。另一方面,在〈二項式定理的推廣(二)〉一文

裡,也提到他們利用開方法(綜合除法,亦即中國傳入的賈憲-霍納法)求得了展開式:

P1

有了上述展開式之後,即可以透過造表、觀察關係與規律的方式造出

P2P3、…、P4、…以及P5P6P7、…、P8、…之展開式。

利用P9可得P5,利用P10可得P6等。 繼續閱讀 »

二項式定理的推廣(三):和算家的數學表(上) (The generalization of Binomial theorem(III):the mathematical table of wasan mathematicians)

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二項式定理的推廣(三):和算家的數學表(上) (The generalization of Binomial theorem(III):the mathematical table of wasan mathematicians)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結:二項式定理的推廣(二):有理數冪次(The generalization of Binomial theorem(II):rational power)

在〈二項式定理的推廣(一)〉與〈二項式定理的推廣(二)〉兩篇文章中,提到了江戶時期日本數學家(和算家)對二項式定理的推廣,包含利用無窮等比級數公式以及直觀地使用了「無窮多項式」的乘法,將二項式定理的幂次推廣至負整數的情況。並也說明他們如何利用開方法(綜合除法,亦即中國傳入的賈憲-霍納法)將二項式定理的幂次推廣至1/2以及1/n任意的情況。

有趣的是,江戶時期日本數學家進一步發展出各類數學「表」,用來幫助計算與推廣二項式定理,一般也作為記載數學知識之用。

如表一所示,為 p3 類二項展開式之係數表(這裡為方便讀者閱讀,筆者將原表格內容改以現代符號來表示,並

受篇幅所限只列出當中的一部份),若我們僅看數字部份,則第一列的數字為 p4 的各項係數;第二列為

p5 的各項係數;…;第 p6 列為 p3 的各項係數(然表中皆僅列到前七項)。

有了第一列之後,便可以任意地擴張整個表的內容,得到任意的 p3 展開式係數。例如:

p5 的 p7 項係數3,便是上一列前3項之和,即 p8

p9 的 p10 項係數15,便是上一列前5項之和,即 P11

p3 的項係數,便是上 p12 一列前項之和,即 p13 繼續閱讀 »

二項式定理的推廣(二):有理數冪次(The generalization of Binomial theorem(II):rational power)

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二項式定理的推廣(二):有理數冪次(The generalization of Binomial theorem(II):rational power)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結:二項式定理的推廣(一): 負整數冪次 (The generalization of Binomial theorem(I):negative power)

前文〈二項式定理的推廣I:負整數冪次〉裡,對二項式定理作了冪次上的推廣,從正整數推廣至負整數。接著,我們進行另一個推廣:有理數冪次。不過,受限於篇幅,這裡主要先討論指數為1/2次方的二項展開式。並同樣借用江戶時期日本數學家的方法來作說明。

首先,指數為1/2次方的二項展開式與開平方問題為一體兩面,例如 p1 可看成 p2 。再者,在東方數學史發展的過程裡, p3 之開方問題與方程式的解息息相關:若令 p3 ,則開方求 p4 相當於求解方程式 P5 之實根問題。

然而,無論是傳統中算或者江戶時期的日本數學發展的過程,求解一元多項方程次時,往往利用了類似現今綜合除法的「開方法」(即賈憲-霍納法)來求方程式的數值解(相關內容與方法,可參考另一篇文章〈利用綜合除法求解多項方程式〉)。

因此,處理 p6 有關的展開式問題時,便相當於求解 P7 ,亦即求解 P8 的實根。當然,若 P9 為實數時,我們僅需前述方法(賈憲-霍納法)便能求得其近似數值解。 繼續閱讀 »

二項式定理的推廣(一): 負整數冪次 (The generalization of Binomial theorem(I):negative power)

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二項式定理的推廣(一): 負整數冪次(The generalization of Binomial theorem(I):negative power)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

國中數學課程裡,介紹了兩個重要的乘法公式:pp1。到了高一上的「數與式」單元,將這二個公式推廣至指數為三次方的情況:

p2  以及  p3

到了高一下,在引進了組合相關概念後,便可一般性地討論二項式定理,將指數推廣至任意正整數次方的情況:

p4

然而,當指數為有理數的情況呢?或負整數次方呢?例如p5p6p7等問題,皆與二項式定理有關。一般在高中課程中並不特別討論其展開式。本文中,首先介紹指數為負整數的情況,接著,〈二項式定理的推廣:有理數冪次〉一文中,繼續介紹指數為有理數的情況。 繼續閱讀 »

動物胚胎發育過程中的神經外胚層區域劃分機制 The Patterning Mechanism of Neural Ectoderm during Animal Embryo Development

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動物胚胎發育過程中的神經外胚層區域劃分機制 The Patterning Mechanism of Neural Ectoderm during Animal Embryo Development
國立臺灣大學動物學研究所98級陳政儀

大部分兩側對稱動物的成體內,都具有特化的前端神經節集中,以及其後伴隨的中樞神經管,形成中樞神經系統(central nervous system, CNS),並連結全身的周圍神經系統(peripheral nervous system, PNS),以構成完整的神經網絡。這個網路將外部自受體進入的訊息加以處理,之後產生反應及動作。特化的神經細胞使得動物得以不同的行為與動態生存在這個星球,而中心極化/集中的中樞神經系統讓神經網路能夠處裡的訊息及反應更加複雜化。

相對於演化早期分支出來的海綿、刺絲胞(Cnidaria)、櫛板動物,兩側對稱生物(Bilateralia,包含原口動物和後口動物,Deuterostomata)(圖一)都具有極化的中樞神經,因此中樞神經系統被認為是所有兩側對稱生物的共同祖先的重要特徵之一。

p5

圖一、動物演化分類樹。
紅色圓圈由左而右標示果蠅、沙蠶、爪蟾。其中果蠅和沙蠶分別代表原口動物裡的兩大分支:蛻皮動物(Ecdysozoa)以及擔輪動物(Lophotrochozoa)。爪蟾則為後口動物(Deuterostomata)中脊索動物門(Chordate)的代表。原口動物和後口動物皆為兩側對稱動物,其共同祖先位於紅色箭頭所指的演化分支點上。(Mizutani & Bier, 2008)。

由於同一類生物的胚胎發育過程會保留部分祖先的特徵或構造(例如脊索動物胚胎的脊索),造成此構造發育的分子調控機制也會被完整、或大部分地保留下來。因此,探討並比較不同動物器官系統發育過程中的分子調控機制,將有助於科學家們回答:此特徵或構造在發育過程中的分子調控機制在不同物種間是否相同?其調控方式不相同的分子機制是否確實造成發育性狀的不同?進而解釋這樣的構造是如何演化出來的?以及對於動物的適應有何幫助?這即是演化發育生物學家(Evolutionary developmental biology, Evo-Devo)所探討的方向。

兩側對稱動物的受精卵,經過初步的卵裂、囊胚期之後,在原腸化以及其後的神經胚過程中,胚胎細胞會逐漸分層。依照相對位置,科學家將其定義為外胚層、中胚層、以及內胚層。內胚層細胞主要會分化為消化道;部分中胚層會分化出肌肉以及內臟;外胚層則主要分化成表皮以及神經細胞。胚胎裡所有的細胞命運,在分層到不同位置之前就已經大致上被決定下來。藉由不同的分子調控機制,胚層與胚層的命運被分離。而後相同胚層來源的細胞群又經過不同的調控機制,分化出不同區塊。區塊內的細胞再分化為不同功能的小單位。如此層層調控,最終發育成熟為複雜的動物成體。

神經外胚層的分化方向也是依照上述層層調控的方式完成。以兩種研究最為透徹的模式生物:果蠅(Drosophila)與非洲爪蟾(Xenopus)為例。在體制上,兩者中樞神經在身體的相對位置是完全相反的:果蠅具有腹神經索,而爪蟾的中樞神經就如同脊椎動物人類的脊神經位於背側。想要確認這個功能相似,但型態不完全相同的構造是否在演化上同源,就必須探討其發育過程中的分子調控機制。

果蠅胚胎外胚層形成後,藉由表現在腹部的Sog基因,以及背部的Dpp基因相互結抗,引導神經外胚層在Sog基因表現的區域分化出來,而非神經外胚層(表皮細胞等)則在Dpp表現區域分化。此一過程稱為神經引導(neural induction)(圖二)。接著,MSHINDVND三個基因在神經外胚層背部至腹部的三個縱向的條狀區塊表現,表現不同基因的細胞未來將分化成不同的神經細胞。此過程稱為神經區塊化(neural patterning)(圖三)。另一方面,爪蟾的神經引導過程,背部神經外胚層表現的Chordin與腹部表現的BMP基因拮抗,表現Chordin的外胚層之後會分化為神經外胚層(圖二)。

p1

圖二、果蠅(Drosophila)與爪蟾(Xenopus)神經引導(neural induction)時期基因表現示意圖。
此為胚胎橫剖面圖,背部在上,腹部在下。Sog與Chordin(Chd)表現的外胚層細胞被引導為神經外胚層(粉紅色區域細胞),而以Dpp和Bmp為主的其餘基因則參與非神經外胚層(綠色區域細胞)的分化。(De Robertis & Kuroda, 2004)。

接著在神經胚時期,爪蟾的背神經管由背到腹方向會表現:MsxGsh/Pax6Nkx等基因,將神經外胚層區塊化(圖三)。

2222

圖三、MSH、IND、VND基因於果蠅神經區塊化時期的表現位置以及果蠅與爪蟾神經區塊化時期基因表現示意圖。
上圖為果蠅胚胎側面觀,背部在上,腹部在下。不同區塊表現的基因將神經外胚層由上而下分為三個縱向的帶狀區域。左下側為果蠅胚胎橫剖面圖,右下側為爪蟾背神經管橫剖面圖,背部在上,腹部在下。相同底色標示基因彼此同源。(Mizutani & Bier, 2008)。

由於果蠅的DppSogMSHINDVND基因分別與爪蟾的BMPChordinMsxGsh/Pax6Nkx基因具有同源關係,因此可以歸納出這兩種動物的神經外胚層的發育在演化上是同源構造。此一神經外胚層發育的同源關係不僅在原口動物中節肢動物門的果蠅、與後口動物中脊索動物門的爪蟾中發現,也同樣在原口動物中環節動物門的沙蠶(Platynereis dumerilii)被發現(圖四)。由發育時的特徵在演化過程中被保留,我們可以推測:兩側對稱生物的共同祖先(圖一),其神經外胚層很可能是以這兩組基因引導並區塊化,使未分化的胚胎神經細胞發育、分化出成體體內不同種類的神經細胞。

p4

圖四、果蠅、爪蟾、沙蠶神經外胚層區塊化時期基因表現示意圖。
此圖標示簡化的背部(上)至腹部(下)的神經外胚層相關基因表現位置。由左而右分別為:果蠅、爪蟾、沙蠶神經外胚層。相同底色標示基因彼此同源。不同神經細胞:感覺神經(白色方框)、運動神經(黑色圓圈)、血清素分泌神經(白色倒三角形),會分別在不同基因表現的位置發育,顯示區域化的結果促進不同神經細胞在身體不同位置分化。(Denes et al., 2007; Mizutani & Bier, 2008)。

演化發育生物學不僅提供生物演化的歷史脈絡,也解釋了基因調控模式對性狀改變的影響,以及性狀改變對環境適應的差異性解釋。此學門囊括了細胞學、發育生物學、演化生物學、生物資訊等各大生物學門的背景知識,為近十年來生物學界興起的熱門探討方向。

參考文獻:

  1. De Robertis, E. M., & Kuroda, H. (2004). Dorsal-ventral patterning and neural induction in Xenopus embryos. Annu Rev Cell Dev Biol, 20, 285-308. doi: 10.1146/annurev.cellbio.20.011403.154124
  2. Denes, A. S., Jekely, G., Steinmetz, P. R., Raible, F., Snyman, H., Prud’homme, B., . . . Arendt, D. (2007). Molecular architecture of annelid nerve cord supports common origin of nervous system centralization in bilateria. Cell, 129(2), 277-288. doi: 10.1016/j.cell.2007.02.040
  3. Mizutani, C. M., & Bier, E. (2008). EvoD/Vo: the origins of BMP signalling in the neuroectoderm. Nat Rev Genet, 9(9), 663-677. doi: 10.1038/nrg2417

低碳社區,大家一起來營造 Let us live in low-carbon communities.

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低碳社區,大家一起來營造 Let us live in low-carbon communities.
臺灣大學環境工程研究所許桓瑜

近年來,各國領袖高峰會議都討論到「全球暖化」及「氣候變遷」議題。聯合國預測到2030年,全世界60%以上的人口將生活在城市,現今城市占地球面積不到1%,卻消耗世界約75%的能源、排放80%的溫室氣體,因此如何從城市進行減碳,成為全球關切的議題。

已開發國家如英國、日本、德國及美國在2009年起紛紛推動綠色新政,結合建設低碳發電設施,降低碳產業及建構低碳社會。而台灣也提出低碳家園的目標來呼應全球資源永續利用及節能減碳的趨勢,預計用十年時間建構「低碳社區」、「低碳城市」與「低碳生活圈」的任務。

低碳社區-01

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行列式的濫觴:萊布尼茲 (2)(The Beginnings of Determinants: Leibniz (2))

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行列式的濫觴:萊布尼茲 (2)(The Beginnings of Determinants: Leibniz (2))
國立臺南第一高級中學林倉億老師

在本網站的文章中,中央大學單維彰老師的〈行列式的故事〉已簡略地介紹行列式發展歷史的大略,<行列式的濫觴>系列的文章,就是為它補上一些細節。

連結:行列式的濫觴:萊布尼茲 (1)(The Beginnings of Determinants: Leibniz (1))

在〈行列式的濫觴:萊布尼茲 (1)〉中,介紹了萊布尼茲透過所創立的數字符號,寫出三個二元一次方程式有共同解的條件,也就是相當於今日行列式的展開式。可惜的是,萊布尼茲與羅必達的通信,直到1850年才公開。在此之前,其他數學家並不知道萊布尼茲在這方面的成就。事實上,萊布尼茲是有意要隱瞞他的發現的,根據1863年公布的史料看來,萊布尼茲可能早在1678年就已經寫出這些結論,但一直把它當作祕密保守著。無怪乎,他會在信中向羅必達表示從未向其他人透露過這個巨大的發現。

利用係數來討論方程式的解,萊布尼茲並非第一人。事實上,無論是韋達還是笛卡兒,都有這方面的成果。不過,萊布尼茲獨特之處在於利用兩個足標來表示係數,這對以後無論是行列式或是矩陣理論的一般化提供了有利的工具。雖然他與羅必達的通信在1850年才公開,但他在1700-1710年間出版的兩份文件中,就已展現這種符號的使用。 繼續閱讀 »

行列式的濫觴:萊布尼茲 (1)(The Beginnings of Determinants: Leibniz (1))

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行列式的濫觴:萊布尼茲 (1)(The Beginnings of Determinants: Leibniz (1))
國立臺南第一高級中學林倉億老師

在本網站的文章中,中央大學單維彰老師的〈行列式的故事〉已簡略地介紹行列式發展歷史的大略,接下來這系列的文章,就是為它補上一些細節。首先登場的,就是萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646-1716)。

1693年4月28日萊布尼茲寫給羅必達 (Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital, 1661-1704)的信中,開門見山地寫道:

我一定沒有解釋得很清楚,所以你才會說你難以相信可以使用數字取代字母,像字母一般且便利的使用。如果允許將2、3等當作ab來使用,而不是當作真的數字,那它的一般性就是無庸置疑的。以此方式,就不是6,而是ab。至於便利性,正是因為便利,所以我本身經常使用它們,特別是易於犯錯的冗長且困難的計算中。因為除了具備用數字來檢驗的便利性外,甚至是用「去9法」(註一)來檢驗,我還發現使用上有一個很大的好處,就是分析。雖然這是十分巨大的發現,但我還沒有告訴任何人,以下就是這個發現。

從這封信中可看出用文字符號來的使用在當時已經是十分自然的事了,現在萊布尼茲要反其道而行,用數字來代替文字,所以,羅必達在上封信中表達了自己的疑惑。由此,也可以看出,住在法國的羅必達透過信件往返,與身在日耳曼的萊布尼茲在數學上進行跨國交流。再者,羅必達對萊布尼茲來說,必定是相當在意的人,不然,萊布尼茲怎會透露自己的巨大發現,還強調從沒告訴過任何人。無論是搞神祕還是故意吹噓,都達到引人一探究竟的效果。 繼續閱讀 »

苯乙烯(styrene)

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苯乙烯(styrene)
國立臺灣大學科學教育發展中心陳藹然博士、鄭文/國立臺灣大學科學教育發展中心陳藹然責任編輯

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維基:保利龍餐盒http://zh.wikipedia.org/wiki/發泡膠盒

苯乙烯(styrene),顧名思義,結構就是乙烯為主結構,其中一個氫被苯基取代,為一無色液體,濃度低時帶有甜甜的香味。自然界就有苯乙烯的存在,可以從咖啡、肉桂等植物中提煉出來,英文名字styrene 就是因為苯乙烯為天然樹脂蘇合香(或稱安息香,styrax)主成分而得名,苯乙烯是重要的石化原料,被廣泛的使用於製造各種石化聚合物製品,例如橡膠、玻璃纖維、塑膠管、汽車零件、鞋子、酒杯、食物容器、地毯襯背等,2010年苯乙烯年產量即高達2500萬噸。其中大家最熟悉的苯乙烯製品就是以苯乙烯作為單體之聚苯乙烯(polystyrene, PS)。聚苯乙烯質地硬而脆,無色透明,可以和多種染料混合產生不同的顏色;發泡聚苯乙烯(俗稱保麗龍)是良好的熱絕緣體,因此經常被用來作為建築絕緣材料,如建築結構隔熱板,同時兼具吸音、隔音等效果。

雖然苯乙烯的沸點是145度,但是卻是一種容易揮發的且易燃的有機物。苯乙烯對人類有直接接觸危險性:當人們因為身處工地、剛裝潢好的空間、吸煙室或使用影印機等的環境中,導致暴露在被苯乙烯蒸氣所汙染之室內空氣時,眼睛就有可能因苯乙烯刺激而紅腫、流淚。如果皮膚接觸到苯乙烯,也會有吸入或滲透的危險性。此外,含苯乙烯產品之製造、使用及處理過程中,如果處理或控管不當就可能將苯乙烯釋放至空氣、水及土壤,導致使用或製造苯乙烯場所工作的人員暴露於苯乙烯中。苯乙烯的吸入相當可能會造成神經系統的影響。所幸在空氣中之苯乙烯,通常很快地會在1到2天內被分解,在土壤或水中之苯乙烯可能會被細菌或其他微生物所分解。 繼續閱讀 »

解聯立方程式與其幾何意義(二) (Solving simultaneous equations and the geometric interpretation, II)

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解聯立方程式與其幾何意義(二)(Solving simultaneous equations and the geometric interpretation, II)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結:解聯立方程式與其幾何意義(一) (Solving simultaneous equations and the geometric interpretation, I)

在〈解聯立方程式與其幾何意義(一)〉一文裡,說明了解二元一次聯立方程式的幾何意義。接著,我們推廣至三元一次聯立方程式的情況。而其幾何意義也與空間中的平面有關。

p1

圖一 綠色平面為通過透明平面與黃色平面之交線且與xy平面垂直的新平面

如圖一,設(黃色平面)與(透明平面)交於一直線,而其上一點為此交線與另一個平面的交點。利用平面族的概念,可造出一個通過平面與平面之交線、且與平面垂直的新平面(即綠色平面)。當我們將黃色平面置換成綠色平面時,交線保持不變,而此交線與平面之交點亦保持不變。以下,我們舉實際的例子作說明。

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