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貝葉斯和貝氏定理(3)(Thomas Bayes and Bayes’ Theorem (3))

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貝葉斯和貝氏定理(3)(Thomas Bayes and Bayes’ Theorem (3))
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

連結:貝葉斯和貝氏定理(3)(Thomas Bayes and Bayes’ Theorem (2))

接著,我們來看貝葉斯如何求出e1e2。他用了一個頗為獨特的想法,據以建立機率模型進行計算。

如圖一,考慮水平擺放一個正方形的桌面或平面e3

將球e4e5拋向桌面,並假設它們落在桌面上任何相等區域內的機率相同。

這時,假設球e5先拋,過落點畫一條直線e6平行e7,分別交e8e9e10e11

接著,球e4被拋擲e12次,如果它一次單獨拋擲中落在e7e6之間,稱為在一次試驗中發生了事件e13

p1
圖一

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貝葉斯和貝氏定理(2)(Thomas Bayes and Bayes’ Theorem (2))

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貝葉斯和貝氏定理(2)(Thomas Bayes and Bayes’ Theorem (2))
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

連結:貝葉斯和貝氏定理(1)(Thomas Bayes and Bayes’ Theorem (1))

在說明貝葉斯的論文〈《機率論》中一個問題的解決〉(An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances)內容之前,先來交待一下當時機率論的發展情形。由於法國貴族默勒(Chevalier de Mere)請教巴斯卡(Blaise Pascal, 1601-1665)骰子擲點及賭金分配等問題,引發巴斯卡與費瑪(Pierre de Fermat, 1601-1665)兩人書信討論解決,奠立了機率論的基礎。

1655 年,荷蘭數學家惠更斯(Christiaan Huygens, 1629-1695)走訪巴黎,得知巴斯卡與費瑪兩人討論的問題,引發興趣,進而延伸討論,1657年出版一本小冊子《論機率博奕的計算》(On the Calculations in Games of Chance)。到十八世紀初,該書一直都是機率論入門的著作。

而伯努利(Jakob I. Bernoulli, 1654-1705)在惠更斯的基礎上,因應當時對於保險風險評估等實際的需求,討論機率與各種實際問題的結合。在他死後8年,出版的《猜度術》(Ars Conjectandi, 1713)成為機率論重要的著作。今日我們所知的大數法則、二項分佈等概念,均在書中可見。 繼續閱讀 »

貝葉斯和貝氏定理(1)(Thomas Bayes and Bayes’ Theorem (1))

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貝葉斯和貝氏定理(1)(Thomas Bayes and Bayes’ Theorem (1))
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

貝氏定理(Bayes’ Theorem)在高中數學的機率單元中出現,被當成是條件機率的重要議題,為人所知的是它的定理內容:

e1為樣本空間e2的一組分割,e3e2的任一個事件,
e4,則在事件e3發生的情況下,事件e5發生的機率為

e6

以及課本提及的應用,如品管檢驗、醫學檢定等。但多數人不知道貝氏是誰?什麼問題促使他發展出貝氏定理?貝氏定理在現今統計學上有著廣泛的應用,但學說提出之初,就如此為數學家和統計學家所擁護嗎?這些問題都是本文撰寫的動機。首先,就由托馬斯.貝葉斯(Thomas Bayes, 1702-1761)的生平開始說起,貝氏定理正是由他所提出的。 繼續閱讀 »

[活動] 物理大師楊振寧講座「因故延期」,延期日期未定。

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[活動] 物理大師楊振寧講座

物理大師演講「因故延期」,延期日期未定。

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楊振寧,華裔物理學家。他與李政道共同提出理論物理學中弱作用力宇稱不守恆理論,共同獲得1957年諾貝爾物理學獎。他們是最早的華人諾貝爾獎得主。

欣逢臺灣大學校慶,特邀諾貝爾獎物理獎得主、臺大名譽博士楊振寧,於臺大物理系進行兩場科學演講:

11/13 (星期四) 16:00-17:30 專題演講 (英文)
“Conceptual Origin of Maxwell Equations and of Gauge Theory”

11/14 (星期五) 16:00-17:30 科普演講 (中文)
“愛因斯坦與20世紀物理”

講者:楊振寧 院士

地點:臺灣大學物理系新館R204國際會議廳

加開連線:物理系新館R104楊金豹演講廳 繼續閱讀 »

為什麼我們呼吸不會窒息?藉由量子力學來回答你

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為什麼我們呼吸不會窒息?藉由量子力學來回答你
高瞻計畫特約編譯張涵茜/國立臺灣大學物理學系王名儒教授責任編輯

編譯來源:洞見科學(Inside Science)/How Quantum Mechanics Helps Us Breathe

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(圖片來源:Mats Eriksson@flickr)

人體運輸氧氣的的方式是藉由特種蛋白質中的鐵原子和氧結合,經由血液運送到身體的各個部位。過去的理論都認為,我們身體裡的特種蛋白質跟一氧化碳的結合活性較氧氣強,這就引出了為何人類或動物不會因呼吸而漸漸窒息的疑問?

雖然人體在自然運作的過程中產生一氧化碳的量極少,不會導致特種蛋白質攜氧量的大幅降低;但由於我們在大氣中會不斷吸入一氧化碳,遲早都會讓大部分的特種蛋白質因與一氧化碳結合而無法攜氧,造成所謂的一氧化碳中毒而達到窒息的狀況。事實證明,我們存在大氣中都安然無恙,這表示其實氧氣跟特種蛋白質的結合活性比理論所推測的要強得多。 繼續閱讀 »

種系發生(Phylogenesis)

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種系發生(Phylogenesis)
國立臺灣師範大學生命科學系何懿洲博士生

由於演化是十分漫長的過程,這也是研究種系發生的最大困難處,以現代科技來說種系發生無法直接通過觀察和實驗來驗證,現階段都以間接證據佐證為主。因此種系發生的研究並非是採用單一研究法而是綜合各領域研究證據而形成。目前研究種系發生是利用形態學和分子生物學兩種模式。

(一)形態學:藉由部份的化石形態學和解剖學特徵與現存生物的形態解剖學之比較,以及現生生物之間在生理學特徵之比較。形態學所採用的特徵被分為同源特徵和同功特徵兩種:(1)同源特徵:例如同源器官或是同源的行為方式,會顯示出相同的軀體基本構造,但是在不同環境的影響下會產生不同的外形或功能;(2)同功特徵:例如同功器官外形相似,功能相同,但它們並不是同一個構造而來,而是通過趨同演化獨立發展出來的; 繼續閱讀 »

環己烷(Cyclohexane)

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環己烷(Cyclohexane)
國立臺灣師範大學化學系碩士班一年級鍾長志

環己烷的樣貌是一個正六邊形的化合物。在化學的世界裡,卻是以一個很舒適的姿態呈現它自己的樣貌,就是「椅形體」。

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(圖一)

環己烷是一個特別的化合物,在這個椅形體的以地球經度線的方向稱為軸(axial),以地球的緯度線方向稱為赤道(equatorial)。由(圖一)可以看出,氫原子它們彼此有擁自己的一個空間,它們處於一個很自由的狀態。 繼續閱讀 »

醇的保護(Protection of Alcohols)

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醇的保護(Protection of Alcohols)
國立臺灣師範大學化學系三年級學生趙崇瀚

在一般常見的水溶液化學反應環境中,醇類在羥基上的氫並不是太好的酸(eq2),甚至比水的酸性更低(eq1),但比起有機化合中大部分碳上的氫(eq3通常大於20)則算是相當酸的氫。因此,有機反應中羥基的氫的反應性相當的高,換言之,若是一有機分子本身具有多個官能基(包含羥基),則在合成步驟中用來修飾分子的反應試劑可能因為優先與羥基作用,而導致失去原本的功效。最為常見的例子,是使用同時含有鹵素和羥基的分子製作格里納試劑(Grignard reagent),考慮以下例子:

欲從丙酮合成含有兩個羥基的分子

p1

最為常見的合成法是先製備格里納試劑,再對丙酮進行反應。然而在條件下製備格里納試劑時,便會產生問題,並沒有辦法得到理想的反應試劑。

p2

因為格里納試劑本身可視為帶負電的烷基(烷類 eq4 ,其共軛鹼相當的強),而羥基的氫較烷鏈上的氫還酸,所以此步驟得到的結果其實是OH的氫被去質子化之後的產物。如此一來,我們便無法得到理想的產物。 繼續閱讀 »

偵測到大爆炸微波輻射的研究持續受到質疑

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偵測到大爆炸微波輻射的研究持續受到質疑
高瞻計畫特約編譯葉承効/國立臺灣大學物理學系高涌泉教授責任編輯

編譯來源:Criticism of Study Detecting Ripples From Big Bang Continues to Expand

今年三月,宇宙銀河系外偏振背景影像(Background Imaging of Cosmic Extragalactic Polarization,以下簡稱BICEP)團隊透過位於南極的BICEP2望遠鏡,觀測到宇宙大爆炸所產生的重力波。若此研究屬實,那麼將是近現代最重要的宇宙學研究成果,因為這證明了宇宙大爆炸理論。但是自從該團隊的研究成果問世以來,就一直不斷有學者提出質疑。

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圖片來源:維基百科

關於宇宙開始的理論,在過去三十年的核心理論是建立在「大爆炸」及「暴脹」之上。所謂的暴脹是指大爆炸後的10−36秒開始,持續到大爆炸後10−33至10−32秒的宇宙空間膨脹狀態,並在宇宙中留下重力波波紋。暴脹解釋了宇宙的起源,以及宇宙的諸多特性。

歐洲太空總署最近使用普朗克衛星(Planck Satellite)的數據證明BICEP2所觀測的宇宙中含有足量的星際間塵埃,可能會影響望遠鏡所得到的觀測影像。首位針對BICEP研究成果提出星際間塵埃變數的學者佛洛格(Raphael Flauger)認為「顯而易見地,大部分的信號都是由星際間塵粒所造成的。」 繼續閱讀 »

數學之旅:三角形面積公式(II) (Mathematical Journey through the Formulas of Triangle Area)

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數學之旅:三角形面積公式(II) (Mathematical Journey through the Formulas of Triangle Area)
國立蘭陽女中陳敏晧教師

連結:數學之旅:三角形面積公式(I) (Mathematical Journey through the Formulas of Triangle Area)

  1. 海龍公式:若e2的三邊長e3,令e1,即三角形的半周長(semiperimeter),

    e2,此稱為海龍公式(Heron’s formula)。 繼續閱讀 »

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