集合與邏輯

條件句與對偶命題 (Conditional and contrapositive statements)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

在數學上，有許多敘述句皆具有下列形式：\(P\) 蘊涵 \(Q\)

而它的意義即為：若 \(P\) 為真，則 \(Q\) 也必須為真 

此外，尚包含了其它與蘊涵相關的術語，例如：若 \(P\) 則 \(Q\) 、\(P\) 是 \(Q\) 的充分條件、\(P\) 唯若 \(Q\)、\(Q\) 若 \(P\) 以及 \(Q\) 是 \(P\) 的必要條件等，而這些術語的意義皆相同。例如，「若 \(n^2\) 為偶數，則 \(n\) 為偶數」、「若 \(x\) 與 \(y\) 皆為有理數，則 \(x+y\) 為有理數」以及「若 \(\Delta ABC\) 為直角三角形，則斜邊平方等於兩股之平方和」等，都是此類具蘊涵關係的敘述句。

一般而言，蘊涵關係包含了涉及真值（truth）的條件句與因果關係（causation）兩部份，我們以符號「\(P \Rightarrow Q\)」來表示 \(P\) 蘊涵 \(Q\) 的真值部份，並把具「\(P \Rightarrow Q\)」這種形式的句子，稱為條件表達式或簡稱為條件句。其中 \(P\) 的稱為前項或前件（antecedent）， \(Q\) 則稱為後項或後件（consequent）。

集合的元素個數：無窮集合（三） The cardinality of a set: Infinite sets III
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

連結：集合的元素個數：無窮集合（二） 

前文〈集合的元素個數：無窮集合（二）〉提到，實數的無窮為不可數無窮。那麼，在我們常見的數系或幾何例子裡，是否容易找到比實數更大的無窮呢？以幾何的觀點來看，實數對應於一維世界的直線，讀者可能會猜測，我們僅需將維度推廣，利用二維平面的實數數對，甚至三維空間的實數數對，想必可輕易造出更大的無窮。然而，事實並非如此！

首先，我們來討論下述問題：

問題一：已知兩條不等長的線段 \(L\) 與 \(M\)，長度分別為 \(l\) 與 \(m\)，且 \(l>m\)，那麼，哪一條線段上的點較多呢？

直覺上，必定會認為是長度較長者點的數量較多。然而，如圖一所示，為兩不等長線段，從圖形可看出這兩條線段上的點，存在一一對應的關係。此對應圖對任意兩線段皆適用。

圖一　兩條不等長線段上的點之間，存在一一對應關係

集合的元素個數：無窮集合（二） The cardinality of a set: Infinite sets II
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

連結：集合的元素個數：無窮集合（一） 

前文〈集合的元素個數：無窮集合（一）〉之中，我們討論了自然數、整數與有理數的個數，這些集合皆為可數集。而可數無限為基數最小的無限，我們一般將此基數命作 \({\aleph _0}\)（aleph與下標零，此符號可讀作阿列夫零）。

數學家康托爾提出了，構造出基數更大集合的方法：以一集合所有子集合為元素的新集合，其基數比原集合大。譬如說吧！令 \(S = \{ 1,2,3\}\)，則所構造出的新集合為：\(\{ \{ 1,2,3\} ,\{ 1,2,3\} ,\{ 1,2\} ,\{ 1,3\} ,\{ 2,3\} ,\{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} ,\emptyset\}\)，它共包含了 \(8\) 個元素，而 \(8\)恰為 \(2^3\)。不難看出，原集合的元素個數為 \(n\)，則新集合的元素個數為 \(2^n\)。因此，我們可構造出一個基數為 \(2^{\aleph _0}\) 的新集合，如此可不斷地構造出更大的集合。
而我們把 \({\aleph _0}\)、\(2^{\aleph _0}\) 等涉及無窮集合的基數稱為超限基數（transfinite cardinal number）。

那實數呢？問題似乎變難了，不像整數或有理數易於排序，我們很難有系統地將實數重新排序，使其與自然數一一對應，換言之，實數的個數問題，顯得更難以掌握。所以，我們不禁懷疑，實數的個數與自然數一樣多嗎？ 

集合的元素個數：無窮集合（一） The cardinality of a set: Infinite sets I
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

連結：集合的元素個數：有限與無限

無窮集合元素個數相等的定義如下：

若兩個集合（無窮集合）之間存在一一對應關係，則這兩個集合的元素個數相等。

我們可藉此發現許多違反直覺的例子。首先，就直觀上來看，正整數的個數比正偶數的個數來得多，而正整數的個數也比完全平方數來得多，不過，我們依上述定義實際作對應與比較後，會發現：

\(\begin{array}{lllllll} 1&2&3&4&5&\cdots&n\\\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&&\updownarrow\\2&4&6&8&10&\cdots&2n\end{array}\)

換言之，正整數的個數與正偶數的個數一樣多。類似地，我們也會發現：

\(\begin{array}{lllllll} 1&2&3&4&5&\cdots&n\\\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&&\updownarrow\\1^2&2^2&3^2&4^2&5^2&\cdots&n^2\end{array}\)

因此，正整數的個數與平方數的個數一樣多。這是不是既違反直覺又不可思議呢？

集合的元素個數：有限與無限 The cardinal number of a set：From finite to infinite
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

高中課程第二冊裡，介紹了集合相關的基本概念，接著討論了計數有關的加法原理、乘法原理、一一對應原理以及取捨原理等。同時，無論該冊第二章的排列、組合單元或者第三章涉及古典機率、條件機率之計算，皆與集合元素個數的計算有關。說穿了排列組合這門學問，便是討論如何「有系統地」數數、或有系統地計算出集合的元素個數。

不過，在高中的範疇裡，僅限於有限集合的討論，同時也提到，當兩個有限集合的元素之間存在一一對應的關係時，易知這兩個集合的元素個數相等。例如：現有 \(A={1,2,3}\) 與 \(B={a,b,c}\) 兩個集合，我們發現 \(1\leftrightarrow a\)、\(2\leftrightarrow b\) 且 \(3\leftrightarrow c\)；亦即，兩個集合的元素可以作一配對，不會重複，且兩邊也都沒有剩下的元素，因此這兩個集合之元素個數相等。教材中，稱其為一一對應原理。當集合元素個數少時，我們易於點算或計數，看不出此原理之大用。然而當計算某集合的元素個數不易時，我們可以尋找另一熟悉的新集合，使得兩集合之元素具有一一對應關係。如此，透過計算新集合的元素個數，求得原集合的元素個數。

邏輯連詞「非」與笛摩根定律(The quantifier “not” and De Morgan’s laws)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

〈數學述句與邏輯連詞〉一文中，介紹了數學敘述與重要的邏輯連詞「且」、「或」與「非」。其中的「非」具是否定的意思，其宣告某個特定的敘述句為假。當「且」、「或」與「非」這三個邏輯連詞進一步混合使用時，會擦出什麼樣的火花呢？

更具體而言，複合敘述 \(P\land Q\) 與 \(P\lor Q\) 的否定敘述又是什麼意思呢？

例如下列敘述句  (3是奇數)\(\land\)(2是質數) 的否定敘述為何意呢？

(3是奇數)\(\land\)(2是質數)代表的是「3是奇數」與「2是質數」需同時成立，
因此，只要兩者之中有一項不成立，或兩者都不成立，即否定了原敘述。
如此來，無論「(3不是奇數)\(\land\)(2是質數)」、「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」
以及「(3不是奇數)\(\land\)(2不是質數)」都否定了原敘述「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」；
換言之，「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」的否定敘述「非(3是奇數\(\land\)2不是質數)」
包含了「非(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」、「(3是奇數)\(\land\)非(2不是質數)」
以及「非(3是奇數)\(\land\)非(2不是質數)」等情形。
因此，非「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」之意等同於「非(3是奇數)\(\lor\)非(2不是質數)」之意。
一般而言，我們可以證明 \(\neg(P\land Q)\) 等價於 \(\neg P\lor \neg Q\)。

數學敘述與邏輯連詞 (Mathematical statements and connectives)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

如〈數學敘述與邏輯量詞〉一文所述，一般數學敘述主要都是下列四種型式或其否定型態：

(1) 物件 \(a\) 具有性質 \(P\)。
(2) \(T\) 類中的每個物件，都具有性質 \(P\)。
(3) 存在一個 \(T\) 類中物件，具有性質 \(P\)。
(4) 若敘述 \(A\) 則敘述 \(B\)。

有了這四類敘述句之後，加上邏輯連詞「且」、「或」與「非」之後，便能造出新的敘述句。

一般而言，我們會以符號「\(\land\)」代表「且」的意思；以符號「\(\lor\)」代表「或」的意思。

其中，\(P\land Q\) 的意思是 \(P\) 與 \(Q\) 同時成立，\(P\land Q\) 也被稱為敘述 \(P\) 與敘述 \(Q\) 的合取句(conjunctions)。必需滿足 \(P\) 與  \(Q\) 同時為真，敘述句 \(P\land Q\) 方為真。

例如(\(\pi\) 是實數)\(\land\)(\(2\) 是質數)此命題即為真，而(\(\pi\) 是有理數)\(\land\)(\(2\) 是質數)則為假。

數學敘述與邏輯量詞 (Mathematical statements and quantifiers)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

高中數學課程中，介紹了什麼是數學敘述，以及「且」、「或」、「非」等邏輯連接詞。一般而言，數學敘述主要都是下列四種型式或其否定型態：

(1) 物件 \(a\) 具有性質 \(P\)。
(2) \(T\) 類中的每個物件，都具有性質 \(P\)。
(3) 存在一個 \(T\) 類中物件，具有性質 \(P\)。
(4) 若敘述 \(A\) 則敘述 \(B\)。

其它的數學敘述，只不過是上述四類形式中的敘述句，再利用「且」、「或」與「非」等邏輯連接詞，重新組合而成的新述句。

正多邊形拼貼（二）（Regular Tessellation II）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯

連結：正多邊形拼貼（一）

摘要：本文介紹有趣的正多邊形拼貼，只要有國中的知識，加上耐心就能解決問題。

延續上一篇所提出的問題，接下來要討論正多邊形拼貼的所有可能情形。

正多邊形拼貼（一）（Regular Tessellation I）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授

摘要：本文介紹有趣的正多邊形拼貼，只要有國中的知識，加上耐心就能解決問題。

看著五顏六色的圖案不斷延伸的磁磚或壁紙，是學生日常生活中最會注意到的幾何經驗之一。拼貼不是繪圖而是裝飾，工人不需要是畫家或設計者，而能製作出這些精美的效果，來自於其中簡單的重複性，也就是對稱性。