轉動

慣性座標系(Inertial reference frame, also Inertial frame of reference)
國立臺灣大學物理所黃一玄

描述一個物體的運動，必須要引入某個參考座標系，而使用不同的參考座標系，物體運動的狀態與於其中適用的物理定律都會因此改變。不同的參考座標系可能可以把簡單的運動描述得複雜，因此，人們自然會想找出能描述物體運動與適合的座標系，使得物理定律處於最簡單形式。

隨意選取一個參考座標系，空間很可能非同質(inhomogeneous)也非等向性(anisotropic)，意思是於其中的物理運動，不同位置點的力學性質不對等；同理，時間的非均質性也會導致不同時間點下遵循不相同的物理定律。例如一個物體可能上一個時間點是靜止，下一個時間點就開始移動而不需要外力。時空的同質性是很重要的，因為它保證在不同時空點下，物體會因遵循相同物理定律，使得實驗結果可重複驗證。而對於那些在空間以及時間上都具有同質性的座標系就叫做慣性座標系。在這樣的座標系下，物體運動會遵循牛頓力學的假設。而愛因斯坦則更進一步將此概念推廣，認為所有物理定律(而非僅牛頓力學) 在所有慣性座標系下都是相同的。

杯中茶葉何去何從？
國立臺灣大學物理學系陳義裕教授

這篇短文想要討論的是一個很易發現的現象：以一根湯匙去攪拌一杯泡有一點茶葉的茶水，則最後杯中的茶葉都會集中、聚集在杯底中央。為什麼？

一、以實驗室靜止觀察者的觀點看問題

當你用一根湯匙去攪拌一杯水後，杯子中的水會整體轉動起來。如果當初攪拌的時候很使勁，杯子中的水轉動得特別快，我們還會發現水面中心明顯凹陷了下去，而靠近邊緣的水位則比較高，整個水面看起來就像是一個碟形天線的形狀(如圖一所示)。不用懷疑，此時水面與碟形天線的形狀真的是同一個模樣，我們將之稱為拋物面。

圖一 水在杯子中轉動，其水面呈下凹狀，與碟形天線的形狀同一個模樣，稱為拋物面。(為了展示效果，此圖故意將表面凹陷的情況誇大) (作者提供)

為什麼轉動中水的表面會呈中心凹陷的拋物面狀？這就要從水要如何去維持轉動的狀態說起。我們知道物體若要做等速圓周運動，則便需要一個向心力，杯子中的一個小水塊既然是在繞著杯子的中心軸轉動，自然也需要有向心力，而此向心力的來源，是由小水塊沿著徑向上的內外兩側之水壓大小不等來提供(如圖二所示)。

圖二 轉動中的小水塊沿著徑向上的內外兩側之水壓大小不等，這提供了小水塊做等速圓周運動所需要的向心力。(作者提供)

可是水壓在徑向上怎麼會出現內低外高的現象呢？原來水面之所以會呈現拋物面狀的祕密就在這裡了：我們在水中某個位置處之所以會感受到水壓，其實是因為它上方所有的水之重量累積疊加後壓了下來所致，因此只要其正上方之水面越高，則水壓就越大。從圖二我們可以看出，有了拋物面狀的水面，則在同一個高度處沿著徑向往外走出去時，其正上方水的深度一定是越來越大，所以水壓的分布一定是越往外就越大。

雖然杯中的水整體轉動得很一致(幾乎就像是一個圓柱體在繞著其中心軸旋轉一般)，但是接近杯底的水就沒辦法轉那麼快了，原因是日常生活中所接觸到的流體都有一個很有趣的特性：和固體接觸的流體很喜歡附著、緊貼著固體表面；它會賴在那裏不想流走。由於杯子是靜止不動的，杯底當然就沒有在轉動，所以接近杯底的水就處於一種很尷尬的場面：一方面在它正上方有一大團轉動得非常快的水想要帶著它一起轉動，但另一方面它又因為貼著杯底，事實上是不太能夠動的，所以做個妥協，接近底部的水就只好慢慢地轉，如圖三動畫所示。

假想力(fictitious force, also pseudo force, inertial force(慣性力))
國立臺灣大學物理所黃一玄

以非慣性座標系描述運動時，物體並不遵守牛頓運動定律。為了使牛頓運動定律看起來仍能成立，我們只好多引入假想力的概念，此假想力完全不是因為物體間有實質的交互作用而產生。在旋轉座標系中，假想力包含離心力跟科氏力。

例一：
假想坐在轎車中的乘客，於汽車突然啟動時，乘客感覺到身體似乎被向後拋、背部跟著緊貼住座椅；而當行車驟然停止時，乘客感受到一個往前的衝力；急轉彎時，身體則會側向往轉彎外側拋甩。

例二：
如圖一，想像你是愛莉絲，吃了縮小蘑菇之後掉入瘋子哈特(Mad Hatter)攪拌中的茶杯，你跟水流方向同步，被水流帶著走，你會看到身旁的水是靜止的，而整個杯子則是反向旋轉。在接近底部的地方，水有跟著杯底一起運動的特性，所以對愛莉絲來說，這些水有一個圓周運動的速度。伴隨著這個速度的科氏力會指向杯子中央，於是茶葉順著水流被推向杯底中央聚集起來。此外，愛莉絲還會發現水面不是平的，而是呈外高內低的拋物面狀，這是因為對她來說周遭的水會感受到離心力，而將水往外拋去，結果外緣就會累積較高的水位。

圖一 愛莉絲被水流帶著走，她會看到身旁的水是靜止的，但整個杯子則是反向旋轉。 (陳義裕繪)

科氏力 (Coriolis force)
國立臺灣大學物理所黃一玄

在旋轉座標系(rotating reference frame)中，科氏力是使得物體偏移其運動方向的力，它使得在旋轉座標系上的觀察者，看到路徑呈弧線彎曲。如同離心力(centrifugal force)，科氏力是假想力的一種，但作用方向與離心力不同。離心力作用方向沿著圓周運動的半徑向外，科氏力是垂直於運動方向跟轉動軸方向(兩者外積之負方向)。

考慮在轉盤中心上跟著轉盤在轉動的人，她的手臂原來是向兩側垂直伸出的，之後手臂縮回身軀(或就如同芭蕾舞者的動作)，此時人的轉速會加快。注意到如果只看身軀的部分，則身體的質量並沒有改變，但轉速變快，這代表身體的角動量增大了，故身體一定受到一力矩使之加速。此力矩一定是由往身軀縮回的雙臂來提供，故雙臂在縮回的過程中必然受到某個力的作用，而且此力必與懸臂移動方向垂直。這個力正是科氏力。

考慮在做圓周運動的轉盤(如圖一(a))，其中有 $$A$$、$$B$$ 兩點距離圓心距離分別是 $$r_A$$ 跟 $$r_B$$，速度分別是 $$v_A$$ 跟 $$v_B$$。現在有一人從 $$A$$ 點向 $$B$$ 快速擲出一球，球速度為 $$v$$。這顆球一開始除有向外(圖中向右)方向的速度 $$v$$ 以外，還有受到旋轉盤給的向北的速度 $$v_A=r_A\omega$$，而此時轉盤在 $$B$$ 點的速度為$$v_B=r_B\omega$$。由於 $$r_B>r_A$$，因此 $$v_B>v_A$$，也就是當球從 $$A$$ 到 $$B$$ 的時候，球往北的速度會低於 $$B$$ 點往北的速度，因此當球到達圓盤外緣時，球會落在 $$B$$ 點之後。

圖一：在做圓周運動的轉盤。(a) 左；(b) 右 (作者提供)

傅科擺(Foucault pendulum)
國立臺灣大學物理所黃一玄

「這現象靜默的展現，既無形也永不停止。人們可以感覺到，可以看到它穩定的生成，它不受人為力量而加快或是減緩。看到這件事實的任何人都會駐足沉思、沉默片刻。而之後伴他離去的，則是那個對我們在太空中持續不間的運行有更敏銳體驗的永恆感覺。」
───傅科 (譯自Amir D. Aczel, Pendulum : Léon Foucault and the Triumph of Science, p xi, Atria Books (2004))

圖一照片來源：http://www.flickr.com/photos/iceninejon/289908913/sizes/l/in/photostream/

非慣性座標系 (Non-Inertial Reference Frame)
國立臺灣大學物理所黃一玄

若某一座標系相對於任一慣性座標系有加速度，則該座標系稱之為非慣性座標系。在非慣性座標系中，物理定律並非處在最簡單形式，特殊地，對於一個質量為 、受到外力為 $$F$$ 的質點來說，牛頓定律不再能單純地寫成 $$F=ma’$$ 的形式(其中 $$a’$$ 是非慣性座標系的觀察者所測到質點的加速度)。為了方便描述物體的運動，人們遂引入假想力的概念，令 F+F_假想力 =ma’  ，使牛頓定律的形式得以成立。

雖然我們永遠可以選擇只採用慣性座標系來描述物體的運動，然而這並不總是處理問題最合適的方式。例如我們如果想了解受壓力梯度影響下的大氣移動，則因為我們是跟著地球在自轉，為了能非常直接而方便地應用到日常生活中，我們會選擇將計算的結果以隨著地球自轉的這個非慣性座標系來表示。