Daily Archives: 2014/08/15

撲克牌遊戲與機率（二） (Poker game and the probability II)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：撲克牌遊戲與機率（一） 

〈撲克牌遊戲與機率（一）〉一文中，介紹了撲克牌遊戲─梭哈─的前五種牌型之組合數與出現機率，接下來，本文繼續介紹如何求得其它四種牌型的組合數與機率。最後，表列出各類牌型對應的組合數與機率之實際計算結果，並作一簡單討論與說明。

6. 三條（three of a kind）

所謂的三條指的是 \(5\) 張牌當中，有三張數字相同，另兩張則都不相同。

例如：\(AAAKQ\)、\(99962\)、\(777Q8\) 等皆是，亦即其牌型為 \(aaabc\)。

我們可以利用下述方式計算出其組合數：先從 \(13\) 個數字中選出 \(1\)個作為 \(a\)，

再從其它 \(12\) 個數字中選出 \(2\) 個作為 \(b\) 與 \(c\)（這裡請注意，\(bc\)不需考慮順序，直接一次選取即可。否則若依序選完 \(a\)，再選 \(b\)，再選 \(c\) 會發生重複的情況，例如 \(AAAKQ\) 與 \(AAAQK\)）。

接著，從 \(4\) 種花色的數字 \(a\) 恰選三張：\(C_3^{4}\)，從 \(4\) 種花色的數字 \(b\) 恰選一張：\(C_1^{4}\)，

最後，從 \(4\) 種花色的數字 \(c\) 恰選一張：\(C_1^{4}\)。

如此，利用乘法原理可計算出所有的三條共有：\(C_1^{13}C_2^{12}C_3^{4}C_1^{4}C_1^{4}=54,912\) 種。

其出現的機率為：\(\displaystyle\frac{C_1^{13}C_2^{12}C_3^{4}C_1^{4}C_1^{4}}{C_5^{52}}\)。此值約為 \(0.02113\)。

撲克牌遊戲與機率（一） (Poker game and the probability I)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

一副公正的撲克牌（Poker）共有四種花色（黑桃、紅心、方塊與梅花），各種花色包含\(13\)種數字（\(2\)、\(3\)、\(\cdots\)、\(10\)、\(J\)、\(Q\)、\(K\)、\(A\)）各一張，總共\(52\)張，有時會再加上\(2\)張鬼牌。而撲克牌相關遊戲種類相當多，其中，一種常見的遊戲方式是每人發五張牌，依據牌面花色與點數所形成的牌型來決定勝負（即一般人口中所謂的梭哈）。多年前，賭神、賭俠、賭聖系列等多部膾炙人口的電影，當中藉以比賽的撲克牌遊戲皆為此類。

遊戲當中，各類牌型的勝負比較如下：同花順 > 鐵隻 > 葫蘆 > 同花 > 順 > 三條 > 兩對 > 一對 > 其它（亂牌）。當然在同一牌型之下，必需依據相對應的數字大小來作比較。數字由大至小依序為：\(A>K>Q>J>10>9>\cdots>2\)；而在某些組合中 \(A\) 也可被視為 \(1\)。也由於各類牌型的機率計算上，僅需要古典機率與組合的概念即可，因此，無論是當年的聯考或者高中機率單元的補充教材裡，皆可看見此遊戲的蹤跡。

你也許會好奇，為什麼這些牌型大小需如此規定呢？問題的答案與機率有關。首先，從 \(52\) 張牌中取 \(5\) 張牌的所有可能性共有 \(C_5^{52}\) 種。以下，我們便對各類牌型的組合數與機率作一簡單討論與說明。在本文中，將先討論前五種牌型，而〈撲克牌遊戲與機率（二）〉中繼續討論另外四種牌型，並作進一步綜合討論。屆時讀者不難了解遊戲設計者如此規定的原因。