Daily Archives: 2014/08/20

二項式定理的推廣（四）：和算家的數學表（下）
（The generalization of Binomial theorem（IV）：the mathematical table of wasan mathematicians）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上） 

在〈二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上）〉一文中，提到江戶時期日本數學家（和算家）利用數學表的方式，推廣了二項式定理，以求得了 $$(1-x)^{-k}$$ 展開式之各項係數表。另一方面，在〈二項式定理的推廣（二）〉一文裡，也提到他們利用開方法（綜合除法，亦即中國傳入的賈憲－霍納法）求得了展開式：

$${(1 + x)^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…$$

有了上述展開式之後，即可以透過造表、觀察關係與規律的方式造出

$${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$、$${(1 + x)^{ – \frac{3}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{ – \frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$以及 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{7}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{\frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$之展開式。

利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{1}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$，利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$等。

二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上）
(The generalization of Binomial theorem（III）：the mathematical table of wasan mathematicians)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：二項式定理的推廣（二）：有理數冪次

在〈二項式定理的推廣（一）〉與〈二項式定理的推廣（二）〉兩篇文章中，提到了江戶時期日本數學家（和算家）對二項式定理的推廣，包含利用無窮等比級數公式以及直觀地使用了「無窮多項式」的乘法，將二項式定理的幂次推廣至負整數的情況。並也說明他們如何利用開方法（綜合除法，亦即中國傳入的賈憲－霍納法）將二項式定理的幂次推廣至 $$1/2$$ 以及 $$1/n$$ 任意的情況。

有趣的是，江戶時期日本數學家進一步發展出各類數學「表」，用來幫助計算與推廣二項式定理，一般也作為記載數學知識之用。如表一所示，為 $$(1-x)^{-k}$$ 類二項展開式之係數表（這裡為方便讀者閱讀，筆者將原表格內容改以現代符號來表示，並受篇幅所限只列出當中的一部份），若我們僅看數字部份，則第一列的數字為 $$(1-x)^{-1}$$ 的各項係數；第二列為$$(1-x)^{-2}$$ 的各項係數；$$\cdots$$；第 $$k$$ 列為 $$(1-x)^{-k}$$ 的各項係數（然表中皆僅列到前七項）。

有了第一列之後，便可以任意地擴張整個表的內容，得到任意的 $$(1-x)^{-k}$$ 展開式係數。

例如：

$$(1-x)^{-2}$$ 的 $$x^2$$ 項係數 $$3$$，便是上一列前 $$3$$ 項之和，即 $$a_{22}=a_{10}+a_{11}+a_{12}$$

$$(1-x)^{-3}$$ 的 $$x^4$$ 項係數 $$15$$，便是上一列前 $$5$$ 項之和，
即 $${a_{34}} = {a_{20}} + {a_{21}} + {a_{22}} + {a_{23}} + {a_{24}}$$

$$\cdots$$

$$(1-x)^{-k}$$ 的 $$x^n$$ 項係數，便是上一列前 $$n+1$$ 項之和，
即 $${a_{kn}} = {a_{k – 1,0}} + {a_{k – 1,1}} + {a_{k – 1,2}} +\ldots+ {a_{k – 1,n}}$$

二項式定理的推廣（二）：有理數冪次
(The generalization of Binomial theorem（II）：rational power)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：二項式定理的推廣（一）: 負整數冪次 

前文〈二項式定理的推廣（一）：負整數冪次〉裡，對二項式定理作了冪次上的推廣，從正整數推廣至負整數。接著，我們進行另一個推廣：有理數冪次。不過，受限於篇幅，這裡主要先討論指數為 $$1/2$$ 次方的二項展開式。並同樣借用江戶時期日本數學家的方法來作說明。

首先，指數為 $$1/2$$ 次方的二項展開式與開平方問題為一體兩面，例如 $$(1+a)^{\frac{1}{2}}$$ 可看成 $$\sqrt{1+a}$$。再者，在東方數學史發展的過程裡，$$\sqrt{1+a}$$ 之開方問題與方程式的解息息相關：若令$$x=\sqrt{1+a}$$ ，則開方求 $$x$$ 相當於求解方程式 $$x^2-(1+a)=0$$ 之實根問題。

然而，無論是傳統中算或者江戶時期的日本數學發展的過程，求解一元多項方程次時，往往利用了類似現今綜合除法的「開方法」（即賈憲－霍納法）來求方程式的數值解（相關內容與方法，可參考另一篇文章〈利用綜合除法求解多項方程式〉）。

因此，處理 $$(1+a)^{1/n}$$ 有關的展開式問題時，

便相當於求解 $$x=(1+a)^{1/n}$$，亦即求解 $$x^n-(1+a)=0$$ 的實根。

當然，若 $$1+a$$ 為實數時，我們僅需前述方法（賈憲－霍納法）便能求得其近似數值解。

二項式定理的推廣（一）: 負整數冪次
（The generalization of Binomial theorem（I）：negative power）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

國中數學課程裡，介紹了兩個重要的乘法公式：$$(x\pm y)^2=x^2\pm 2xy+y^2$$。
到了高一上的「數與式」單元，將這二個公式推廣至指數為三次方的情況：

$$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$  以及  $$(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$$

到了高一下，在引進了組合相關概念後，便可一般性地討論二項式定理，將指數推廣至任意正整數次方的情況：

$${(x + y)^n} = C_0^n{x^n} + C_1^n{x^{n – 1}}y + \cdots + C_k^n{x^{n – k}}{y^k} + \cdots + C_n^n{y^n}$$

然而，當指數為有理數的情況呢？或負整數次方呢？例如 $$(x+y)^{\frac{1}{2}}$$、$$\sqrt{1\pm x}$$、$${(1 \pm x)^{ – 1}} = \frac{1}{{1 \pm x}}$$ 等問題，皆與二項式定理有關。一般在高中課程中並不特別討論其展開式。本文中，首先介紹指數為負整數的情況，接著，〈二項式定理的推廣（二）：有理數冪次〉一文中，繼續介紹指數為有理數的情況。