整數除法

整數除法(Divisions involving Negative Integers)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

我們知道正整數的除法可以寫成以下形式：

$$p\div {k}= {q}…{r}$$

其中被除數 $$p$$ 和除數 $$k$$ 都是正整數，$$q$$ 稱為商數而 $$r$$ 稱為餘數，商數和餘數都容許是正整數或 $$0$$，並且規定餘數不超過除數，亦即 $$0\leq{r}<{k}$$。根據除法原理，我們知道

$$p = q\times {k}+r$$ 或者 $$r=p-q\times{k}$$

這篇短文介紹「一般」的整數除法，也就是容許 $$p$$ 或 $$k$$ 不是正整數的情況。

讓我們先討論 $$0$$ 的狀況。此處要保持的一致性是 $$p\div k=\frac{p}{k}$$。所以容許被除數 $$p=0$$，但是除數必須規定 $$k\neq{0}$$，因為我們不容許零分母的出現。既然 $$0\div{k}=\frac{0}{k}=0$$ 對任何 $$k\neq{0}$$ 皆成立，也就是 $$0\div{k}$$ 的商是 $${q}=0$$，而餘就應該是 $$r={p-q}\times{k}={0-0}\times{k}=0$$。也就是說 $$k\div{k}=0…0$$。雖然如此，我們卻例外地不說 $$k$$ 是 $$0$$ 的因數，也不說 $$0$$ 是 $$k$$ 的倍數；這樣的說法太無聊了。

至於被除數或除數是負整數的情況，許多高中課本規定餘數滿足以下條件：$$0\leq{r}<|k|$$，也就是餘數絕不為負。但是，隨著計算機的普遍使用，為配合硬體設計的便利，許多電腦軟體會算出負的餘數。以下，我們就闡述產生負餘數的緣由。

以下假設 $$p$$ 和 $$k$$ 都是正整數，首先討論 $$p\div(-k)$$ 的情況。

這裡要維持的一致性是：$$p\div{k}$$ 的商，就是 $$\frac{p}{k}$$ 寫成帶分數時的整數部分。

例如 $$7\div{2}=\frac{7}{2}={3}\frac{1}{2}$$，整數除法的商就是 $$q=3$$。

於是，因為 $${7}\div{(-2)}=\frac{7}{-2}=-{\frac{7}{2}}={-3}\frac{1}{2}$$，整數部分是 $$-3$$，所以商是 $$q=-3$$。

那麼餘就是 $$r=p-q\times{k}=7-(-3)\times(-2)=1$$。

一般而言，如果 $$p\div{k}=q…r$$，則 $$p\div(-k)=(-q)…r$$。

用同樣的原則，$$(-p)\div{k}=\frac{-p}{k}=-{\frac{p}{k}}$$，

所以商是 $$-q$$，餘是 $$(-p)-(-q)\times{k}={qk}-p=-r$$；

也就是說 $$(-p)\div{k}=(-q)…(-r)$$。

例如 $$(-7)\div{2}={-3}\frac{1}{2}$$，故商是 $$-3$$ 而餘是 $$r=(-7)-(-3)\times{2}=-1$$。

最後，$$(-p)\div(-k)=\frac{p}{k}$$ 所以商仍然是 $$q$$，而餘是 $$(-p)-(-k)\times{q}={qk}-p=-r$$；

也就是說 $$(-p)\div(-k)=q…(-r)$$。

例如 $$(-7)\div(-2)=3\frac{1}{2}$$，故商是 $$3$$ 而餘是 $$r=(-7)-3\times(-2)=-1$$。

過去，有許多教科書指出，對非零的整數 $$p$$ 和 $$k$$，不論正或負，餘數一律是 $$0$$ 或正整數，即 $$0\leq{r}<|k|$$。這和前一段的敘述並不一樣。這兩種規定，誰對誰錯呢？其實，這是數學中可選擇的規定，只要定下來，形成「慣例」即可。數學中並沒有外在標準的對或錯，只要維持內部的「一致性」都可以。

以上我們所指出的整數除法規則，維持了某種「一致性」。將來，讀者如果使用專業的數值或代數計算軟體，例如Matlab、Maple、Mathematica等，將會發現，這些軟體做整數除法的表現，如同這一份課外讀物的描述：整數除法的餘數不一定是正數，但滿足 $$0\leq{|r|}<|k|$$，並且餘數與被除數同號。

順便指出，「同餘」（modulus）計算卻是依循另一種「一致性」。當 $$p$$ 和 $$k$$ 都是正整數時，「同餘」和「餘數」是一樣的。例如 $$7\equiv 1(\mathrm{mod}~2)$$ 而且 $$7\div{2}$$ 餘 $$1$$。但是，用符號寫同餘的意義，$$p~\mathrm{mod}~k$$ 是

$$\displaystyle p-\left\lfloor\frac{p}{k}\right\rfloor\times{k}$$，

其中 $$\lfloor{x}\rfloor$$ 表示不超過 $$x$$ 的最大整數。例如 $$\lfloor{3.14}\rfloor =3$$ 而 $$\lfloor{-3.14}\rfloor=-4$$。

所以，在這個意義之下，$$7~\mathrm{mod}~2$$ 是 $$7-\lfloor\frac{7}{2}\rfloor\times{2}=7-6=1$$。

但是$$(-7)~\mathrm{mod}~2$$ 是 $$(-7)-\lfloor-\frac{7}{2}\rfloor\times{2}=(-7)-(-8)=1$$，亦即 $$(-7)\equiv 1(\mathrm{mod}~2)$$。

而 $$7\equiv (-2)(\mathrm{mod}~2)$$ 是 $$7-\lfloor-\frac{7}{2}\rfloor\times{-2}=7-8=-1$$，亦即$$7\equiv (-1)(\mathrm{mod}~(-2))$$。

最後，$$(-7)~\mathrm{mod}~(-2)$$ 是 $$(-7)-\lfloor\frac{7}{2}\rfloor\times{-2}=(-7)-(-6)=-1$$，亦即 $$(-7)\equiv (-1)(\mathrm{mod}~(-2))$$。

注意同餘與 $$k$$ 同號，而餘數與 $$p$$ 同號。「同餘」和「餘數」都不限定是正整數。

數學的慣例如此規定：當 $$p\div{k}$$ 時，$$k$$ 不得為0。但是 $$p~\mathrm{mod}~0$$ 是准許的，我們令 $$p\equiv{p}(\mathrm{mod}~0)$$。

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