自然數(Natural Numbers)

自然數(Natural Numbers)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

自然數又稱為正整數，西方數學家認為它們是「上帝創造的數」，這些數早就根植在我們的語言和文字之中，在日常生活中用來當作點數ㄕㄨˇ的工具。例如計算農場有 $$5$$ 頭牛、可以交換 $$9$$ 隻羊；同時也用來指稱第幾個，例如國王的第 $$4$$ 個兒子。現在我們用來表達的十個數字：$$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$$ 和 $$9$$ 是所謂的阿拉伯或印度–阿拉伯數字。

值得注意的是，在定義中 $$0$$ 本身並不是自然數。這個現象其實十分易於理解──想像一個點數的過程，我們通常並不使用「我有零頭羊」這樣的句子，而是單純敘述「我沒有羊」。

$$0$$ 有兩個重要用途：第一是作為十進制對位記數系統中的佔位符號，第二是在數線上當作原點。所謂「對位」就是有個位、十位、百位的觀念，如果沒有 $$0$$ 來佔位，像壹佰零壹和壹仟零壹的數字（$$101$$、$$1001$$）就不容易分辨了。同學們早就熟練的加減乘除直式演算法，就是配合十進制對位記數系統發展出來的。觀察沒有 $$0$$ 也沒有對位記數觀念的羅馬數字系統，從壹到貳拾的數字寫法如下：

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX

羅馬的數字系統並沒有發展出直式的演算法。

雖然有多得數不盡的自然數，但是在概念上可以將它們視為一個整體，數學術語稱之為自然數集合。所謂 $$n$$ 是一個自然數，也可以說成$$n$$ 屬於自然數集合，或者簡化成$$n$$ 屬於自然數。書上常用 $$\mathbb{N}$$表示自然數集合，而老師在黑板上寫得像。$$n$$ 屬於自然數的符號寫法是 $$n\in\mathbb{N}$$，其中 $$\in$$ 稱為屬於符號。而「不屬於」就寫成 $$\notin$$，例如 $$0$$ 不是自然數的符號寫法是 $$0\notin \mathbb{N}$$。

為了解釋點數，我們用一個接著一個的皮卡丘作為範例。在我們的語言中早就有 $$1, 2, 3, 4,…$$ 這些自然數，大多數人在很年幼的時候就學會了依序朗誦這些數字(稱為「唱數」或「報數」）。所謂點數的過程就是依序將一個自然數指派給每一個物件。以下圖為例，我們按照 $$1, 2, 3, 4$$ 的順序，給每個皮卡丘指派一個自然數，既不能重複也不容許缺漏，如下。

而以下都是錯誤點數的例子：
1. 將多於一個自然數指派給同一個皮卡丘：

2. 某一個皮卡丘沒有被數到（沒有被指派自然數）

3. 自然數沒有依序被指派：

4. 同一個自然數被指派不只一次：

在點數的過程中，我們自然而然地建立了一對一且映成的離散型函數對應關係。

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