綜合除法

綜合除法 (Synthetic Division)
臺北市立中山女高數學科陳啟文老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

綜合除法基本上就是多項式長除法 (Long Division) 的簡化過程，將計算的算式，巧妙的省略與排列後，藉由簡單且重複的操作，可以找出多項式的一次因式，也可以計算多項式函數的函數值。

例如，我們要計算多項式 \(3x^3-3x^2+8x-3\) 除以 \(x-2\) 的商式與餘式，其簡化的過程如下圖所示：

於是，可以得到 \(3x^3-3x^2+8x-3=(x-2)(3x^2+3x+14)+25\)。

若令 \(f(x)=3x^3-3x^2+8x-3\)，則得到 \(f(2)=25\)。其中除式為 \((x-2)\) 時，要改用 \(2\) 去處理，同時，長除法中的「上式」去減「下式」也要跟著改成「上式」去加「下式」算是回答學生疑問的制式答案！透過上圖與老師個人的口頭解說，固然順暢，也頗合乎邏輯！但如果能夠換個角度來看多項式函數的函數值計算，或許會變得比較自然些。例如，我們可以將多項式的函數改寫成「\(x\)」與「\(+\)」的基本計算模式如下：

那麼計算 \(f(2)\) 就會掉入所謂「嵌套乘法」（Nested Multiplication），於是，函數的係數與輸入數值 \(x=2\) 的計算迴路，便有「由括號最內，再往括號外」的計算順序：

很明顯的，整個「Step by Step」的過程「乘、加」不僅呈現週而復始的規律現象，而且每一步驟都會對應到綜合除法的排列方式。

這樣的想法引人，不僅提供學生「如何計算多項式函數值」的另一個面向，如果教師願意的話，還可以在「遞迴關係」課程中，多增加此一項教學素材，可當兩單元教材之間的連結。

綜合除法的應用，一般都以「將多項式函數化成 \(x-a\) 的冪級數形式，並估計在 \(a\) 附近的數值」作為代表。

例如：設 \(f(x)=3x^3-5x^2+6x+4=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d\)，

試求：

1. \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)，\(e\) 之值；
2. 求 \(f(0.998)\) 之近似值小數點以下第三位（四捨五入）。

這樣的安排，早在30年前的教科書就已出現過，而類似的問題，在歷經多次的課綱修定以及教科書的重新改寫，現在仍然有其教材地位。只不過學生對於將多項式改成\(x-1\)的冪級數形式後，雖然知道可以估計 \(x-1\) 附近的函數值，那麼對於一般化，如 \(f(1.234)\) 這樣的數值要如何求得近似值，一定存有疑惑！而這類題目若被當成評量試題，誤以為可以評量學生「是否可以了解綜合除法的應用？」也是有其盲點！因為透過恆等式的比較，只要令 \(x=-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\) 代入，很快的就可以求出 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)，\(e\) 之值，整個評量的信度與效度可能會打個問題！

想要了解綜合除法的應用為何？其實要追朔到人類處於僅能依靠雙手做開平方、開立方，甚至解高次方程式的動作。經典的數學思維，以古中國賈憲（約11世紀初的北宋，生平不詳）用來估計 \(x^n=N\)（正整數 \(n\geq{2}\)，\(N>{0}\)）的簡便方法為代表作。今改以現在的數學符號敘述如下：

第一步，估計百位數字 \(a=1\)，
則方程式 \((100x_1)^3-1860867=0\) 的解 \(x_1=1.bc\)，
將 \(1000000{x_1}^3-1860867=0\)

利用綜合除法（右上表列）求出 \(x_1-1\) 的冪級數形式：

\(1000000(x_1-1)^3+3000000(x_1-1)^2+3000000(x_1-1)-860867=0\)－\((2)\)
化成 \(1000(10x_1-10)^3+30000(10x_1-10)^2+300000(10x_1-10)-860867=0\)

因為 \(x_1-1=0.bc\)，所以 \(10x_1-10=b.c\)
令 \(x_2=10x_1-10=b.c\)，
則 \(1000{x_2}^3+30000{x_2}^2+300000x_2-860867=0\) 的解 \(x_2=b.c\)－\((3)\)

第二步，估計十位數字 \(b=2\)，將 \((3)\) 式利用綜合除法（如下表列）求出 \(x_2-2\) 的冪級數形式，如 \((4)\) 式。

得 \(1000(x_2-2)^3+36000(x_2-2)^2+432000(x_2-2)-132867=0\)－\((4)\)
化成 \((10x_2-20)^3+360(10x_2-20)^2+43200(10x_2-20)-132867=0\)

因為 \(x_2-2=0.c\) 所以 \(10x_2-20=c\)
令 \(x_3=10x_2-20=c\)，
則 \({x_3}^3+360{x_3}^2+43200x_3-132867=0\) 的解 \(x_3=c\)－\((5)\)

第三步，估計個位數字 \(c=3\)，
將 \((5)\) 式利用綜合除法（如下表列）求出 \(x_3-3\) 的冪級

得 \((x_3-3)^3+369(x_3-3)^2+45387(x_3-3)=0\)，所以 \(x_3=3\)
也可以知道 =\(123\)，即 \((123)^3=1860867\)。

從上面反覆使用「乘、加」計算來看，就不難了解為何當時會稱這個方法為「增乘開方術」，而當估算不會停止時，所行步驟越多次，則所得到的近似值逼近，在徒手計算的年代，算是提供求出 \(n\) 次多項式方程式的近似根的最佳技術，而這個方法與十九世紀初英國數學家霍納 (Horner) 所提出的相同。