除法原理、餘式定理與因式定理

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除法原理、餘式定理與因式定理 (Theorem of division, remainder and factor)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

小學學除法時,一定學過:「被除數=除數\times商數+餘數」,這就是數的除法原理。開個玩笑,發音發得不標準,聽起來就像是「被除式=除式\times商式+餘式」,數的除法原理就變成多項式的除法原理了。

玩笑歸玩笑,還是要嚴謹地介紹多項式的除法原理,畢竟多項式中有許多重要的定理可都是來自它。不過,在介紹它之前,要先介紹幾個名詞。第一是多項式的「次數」:

多項式f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{......}+a_1x+a_0,若a_n\neq{0}則稱f(x)的次數為n,記作「\deg{f(x)}=n」。

簡單地來說,多項式的次數就是用來表示多項式的最高項是x的多少次方。那若在f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{......}+a_1x+a_0中,a_na_{n-1}\mbox{......}a_1都是0的話怎麼辦?

此時就必須分成兩種情形,第一種是常數項a_0\neq{0},此時\deg{f(x)}=0f(x)稱作「零次多項式」。

第二種則是a_0=0,此時我們規定f(x)沒有次數(或是次數不存在),f(x)稱作「零多項式」。例如f_1(x)=1是零次多項式,f_2(x)=0是零多項式,不論x用哪一個數代入,f_1(x)所得值永遠是1f_2(x)所得值永遠是0

無論是零次多項式還數零多項式,統統是稱為「常數多項式」,因為不論x用哪一個數代入,所得永遠都是常數a_0

現在可以來看看什麼是「多項式的除法原理」了:

f(x)g(x)是給定的兩個多項式,且g(x)不是零多項式。用f(x)除以g(x),則恰有一組多項式q(x)r(x)滿足: f (x)= g(x) \cdot{q(x)}+ r(x),其中\deg{r(x)}<\deg{g(x)}r(x)是零多項式。此時q(x)r(x)分別稱為f (x)除以g(x)的商式與餘式。

例如:多項式f(x)=4x^3-3x+5除以多項式g(x)=2x^2+x-2,可得商式q(x)=2x-1,餘式2x+3,故依除法原理,f(x)除以g(x)可以寫成4x^3-3x+5=(2x^2+x-2)\cdot(2x-1)+2x+3

在除法中,f (x)g(x)是題目給定的條件,這是我們無法置喙的,但商式q(x)與餘式r(x)就是要去算的。一般說來,我們比較關心的是餘式r(x),因為當r(x)= 0(零多項式),就代表f (x)g(x)整除,則這時f (x)g(x)就會有另一層重要的關係:f (x)g(x)的倍式,g(x)f (x)的因式。

繼續將目光停留在餘式上,我們即將介紹多項式中十分重要的一個定理,「餘式定理」:

多項式f(x)除以ax-b的餘式為f(\frac{b}{a})

這個定理十分簡潔且好用,它告訴我們,當除式是一次時,不需要真的去做除法,將x=\frac{b}{a}代入f(x)之中,所得值就是餘式(事實上這時候的餘式是個(實)數)。

例如f(x)=x^{100}-x^{99}+x^{98}-x^{97}+\mbox{......}+x^2-x+1除以x-1,不用做除法,由餘式定理可知餘式就是f(1)=1-1+1-1+\mbox{......}+1-1+1=1。那餘式定理是怎麼來的呢?

既然餘式與除法有關,那就回到除法原理吧!多項式f(x)除以ax-b,由除法原理可知,恰有一組商式q(x)與餘式r(x)滿足f(x)=(ax-b)\cdot{q(x)}+r(x),因為除式ax-b是一次,那餘式r(x)必定是常數多項式,也就是恆等於某個常數,讓我們把這個常數記作r吧,那麼就可得到,f(x)=(ax-b)\cdot{q(x)}+r

怎麼在不知道商式q(x)的狀況之下求r呢?換句話說,怎麼樣可以在求r的過程中,完全不需要考慮q(x)的值呢?這就只有一條路,就是x=\frac{b}{a}代入f(x),即得f(\frac{b}{a})=(a\cdot\frac{b}{a}-b)\cdot{q}(\frac{b}{a})+r=0\cdot{q}(\frac{b}{a})+r=r。事實上,上述的過程用數學符號寫出來,就是餘式定理的證明了。

從餘式定理出發,想想看什麼情況下ax-b才會是f(x)的因式呢?若要是因式,那就必須餘式f(\frac{b}{a})=0;反過來,餘式f(\frac{b}{a})=0不就表示ax-bf(x)的因式。
上述就是「因式定理」了:

ax-bf(x)的因式\Longleftrightarrowf(\frac{b}{a})=0

餘式定理與因式定理都只能用在除式是一次的時候,乍看之下,一般人會認為這是很礙手的限制,但從解(譬如說)方程式x^3-3x^2-13x+15=(x-1)(x-5)(x+3)=0 \Longrightarrow{x}=1,5,-3

來看,能否化成一次式的乘積是求解的關鍵,由此就可以知道一次式的重要性。換句話說,餘式定理與因式定理都將在解方程式中扮演重要的角色。 

There is 1 comment for this article
  1. Miracle at 09:41:31

    大学还没完,这些都忘了。学习了~~~~~~~

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