對數的誕生(Birth of Logarithms)

對數的誕生(Birth of Logarithms)
台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

對數單元的教學安排，一直是老師教學上的一大挑戰。在擁有便利的輔助工具之後，學生很難能耐著性子處理那些龐雜的數字計算(尤其是那種為考試而設計的問題)。事實上，對數發展時的那種數字處理的需求，已經從每個人的經驗中消失，教學上也難以再現。

現行「對數」的定義是十八世紀數學家歐拉(Léonhard Euler, 1707-1783)所給的：「給定一個正數當作底數，則一個數的對數，就是這個底數的次方與這個數相等時的指數/指標(index)。以現在的數學符號表示，就是 $$a^x=b\Longleftrightarrow{x}=\log_ab$$。

對學生而言，這種透過指數的定義方式，其實非常抽象化與形式化，無法帶給學生任何的啟蒙。換言之，我們難以僅僅透過定義了解對數是如何計算，以及最初它是如何被發展。當然，也就難以說服學生為何要學會這些早就被輔助的計算工具所取代的計算技巧。本文是對數發展的初期，納皮爾（John Napier,1550-1617）工作的一些簡單速寫，希望能對此一主題的學習上提供可能的想法。

據數學史家的研究，納皮爾的對數形成受到三種概念的影響：(1)將乘法看成加法；(2)算術（等差）級數與幾何（等比）級數的比較；(3)運動學的幾何性質。讓我們一起往下看，便知分曉。

說來也許令人驚訝，在對數尚未發明之前，天文學家們對於龐大數字計算，是藉助三角學中的四個積化和差的公式來幫助，統稱為加減規則（prosthaphaeretic rule）。

我們試以 $$544.6\times{12.19}$$ 為例，來說明其公式之使用：

$$\begin{array}{ll}544.6\times12.19&={10}^5\times0.5446\times0.1219\\&\approx{10}^5\cos57^{\circ}\sin7^{\circ}\\&=10^5\times\frac{1}{2}\times[\sin (57^\circ+7^\circ)-\sin(57^\circ-7^\circ)]\\&\approx{10}^5\times\frac{1}{2}\times(0.8988-0.7660)=6640\end{array}$$

納皮爾是蘇格蘭貴族，業餘的數學家。1590年左右，他聽聞天文學家利用上述方法簡化計算，加上他注意到等比數列中的兩數相乘（除）與等差數列兩數相加（減）相對應的現象，可以在這兩個數列之間建立起對應關係。

因而，他開始思索如何將乘除化為加減：如果能將任何數寫成 $$a$$ 的某個次方，那麼，兩數相乘便能輕易進行。但如何選擇適當的 $$a$$ 值，讓 $$a^n$$ 間隔夠小，可以和足夠多的整數相對應，成了納皮爾最大的課題。

經過一番嘗試後，他最後選定 $$a=1-\frac{1}{{10}^7}$$ 一個非常靠近 $$1$$ 的數，並且考慮等比數列 $$\{10^7(1-\frac{1}{10^7})^n\}$$（只取整數部份）。因此，任何小於$$10^7$$(這受到三角函數表的影響)的整數都會等於某個 $$10^7(1-\frac{1}{10}^7)^n$$。

因此，當 $$x=10^7(1-\frac{1}{10}^7)^n$$，就稱 $$n$$ 是 $$x$$ 的Napier對數值。

若我們取 $$x_1=10^7(1-\frac{1}{10}^7)^{n_1}$$，$$x_2=10^7(1-\frac{1}{10}^7)^{n_2}$$，
則 $$(x_1x_2)/10^7=10^7(1-\frac{1}{10}^7)^{n_1+n_2}$$，若 $${x}$$ 是 $${n_1+n_2}$$ 所對應的值，那麼 $$x_1x_2=10^7x$$。

花了二十年的時間，1614年納皮爾發表他的對數表著作，他在書中利用運動的觀點來解釋對數。

如圖一，我們考慮 $$P$$、$$Q$$ 兩點在直線上的運動，$$P$$ 點在直線上等速前進，

所以，通過 $$[0,a]$$，$$[a,2a]$$，$$[2a,3a]…$$ 等區間的時間間隔都會相等。

而 $$Q$$ 點則在 $$P$$ 點運動的時間間隔中，通過$$[1,r]$$，$$[r,r^2]$$，$$[r^2,r^3]…$$ 等區間。

在這樣的模式中，$$P$$ 點的運動相當於等差數列，$$Q$$ 點的運動則相當於等比數列。

納皮爾的著作受到廣泛的注意，特別是倫敦Gresham學院的數學家布里格斯(Henry Briggs,1561-1631)。布里格斯親自拜訪納皮爾，在兩人的會面中，他們更是釐清了對數的本質。因此，兩人決定著手制定改以 $$10$$ 為底數的對數表，以便於十進位制的計算使用。不過，由於納皮爾年事已高，這個工作就由布哩格斯於1619年將之完成，這便是Briggs常用對數表的由來。

參考文獻:

1. 曹亮吉，《阿草的葫蘆》，台北：遠哲基金會，1996。
2. 蘇俊鴻，〈數學史融入教學－－以對數為例〉，《HPM通訊》6(2/3)：16-20。