餘弦定理(Law of cosine)

餘弦定理(Law of cosine)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

餘弦定理：若 \(\Delta{ABC}\) 的三邊長 \(\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c\)，則恆有性質

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\)
\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos{B}\)，此稱餘弦定理。
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\)

證明：在不失一般性的情形下，我們以銳角三角形 \(ABC\) 進行證明，如圖一所示。

過 \(C\) 點作 \(\overline{AB}\) 之垂線交 \(\overline{AB}\) 於 \(D\) 點，
根據三角函數的定義得 \(\overline{AD}=b\cos{A}\)，且 \(\overline{CD}=b\sin{A}\)，
又 \(\overline{BD}=\overline{AB}-\overline{AD}=c-b\cos{A}\)
利用畢氏定理得：\(a^2={\overline{BC}}^2={\overline{CD}}^2+{\overline{BD}}^2=(b\sin{A})^2+(c-b\cos{A})^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\)，上述證明方式是一般高中數學教科書常用的方法，其餘兩式，同理可證。

餘弦定理特例：如果我們假設三角形為直角三角形，即 \(\angle{A}=90^\circ\)，則餘弦定理會轉換成\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{90}^\circ=b^2+c^2\)，這個結論即畢氏定理。

Timothy A. Sipka 的一個證法（收入Proof without Words），也從《幾何原本》的畢氏定理面積圖形出發，去證明餘弦定理，如圖二所示，最後利用畢氏定理 \(\overline{AC}^2=\overline{AD}^2+\overline{CD}^2\)，即得餘弦定理：

\(c^2=(b\sin\theta)^2+(a-b\sin\theta)^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\)。

在 Proof without Words 中共有三個證明餘弦定理的方式，

第二個證明方法是Sidey H. Kung利用圓內冪性質：取圓內接直角三角形 \(ABC\)，如圖三所示，

其斜邊 \(\overline{AC}=2a\)，令 \(\angle{ABC}=\theta\)，則 \(\overline{BC}=2a\cos\theta\)，

\(\overline{EG}\) 其上線段 \(\overline{OF}=C\)，則 \(\overline{FG}=a-c\)，令 \(\overline{CF}=b\)，得 \(\overline{BF}=2a\cos\theta-b\)，

最後根據圓內冪性質 \(\overline{FB}\times\overline{FC}=\overline{FE}\times\overline{FG}\)，代入上述假設條件，

即 \((2a\cos\theta-b)b=(a-c)(a+c)\)，整理得餘弦定理 \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\)。

圖三：由圓內冪性質證明餘弦定理。

第三個證明方法是Sidney H. Kung利用托勤密定理（Ptolemy’s Theorem）：

若 \(ABCD\) 為圓內接等腰梯形，如圖四所示，其中線段 \(AB\) 平行於線段 \(CD\)，

令 \(\overline{AB}=a\)，\(\overline{AD}=\overline{BC}=b\)，且 \(\angle{DAB}=\angle{ABC}=\theta\)，對角線長 \(\overline{AC}=\overline{BD}=c\)，

利用餘弦函數定義得 \(\overline{CD}=a+2b\cos(\pi-\theta)\)，

根據托勒密定理：圓內接四邊形，其對角線相乘值等於對邊長相乘之和，

即 \(\overline{AC}\times\overline{BD}=\overline{AB}\times\overline{CD}+\overline{AD}\times\overline{BC}\)，

代入假設條件即 \(c\times{c}=a\times[a+2b\cos(\pi-\theta)]+b\times{b}\)，

整理得餘弦定理 \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\)。

除了Proof without Words中三個證明餘弦定理的方式外，高中數學老師在教學上也常引進平面兩點距離公式的證明與複數的證明。

平面兩點距離公式的證明：給定任意三角形 \(ABC\) 與平面直角坐標系，如圖五所示，

令 \(C\) 點為原點 \((0,0)\)，且三邊長 \(\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c\)，

得 \(B\) 點坐標為 \((a,0)\)、\(A\) 點坐標為 \((b\cos{C},b\sin{C})\)，利用兩點之間的線段公式：

\(c^2=\overline{AB}^2=(b\cos{C}-a)^2+(b\sin{C}-0)^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\)，

此即為餘弦定理。

複數距離公式的證明：給定任意三角形 \(ABC\) 與複數平面坐標系，如圖六所示，

令 \(C\) 為原點 \((0,0)\)，且三邊長 \(\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c\)，

其中 \(A\) 點為 \(z_1=b(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\)，\(B\) 點為\(z_2=a(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\)，

得 \(A\) 點坐標為 \((b\cos\theta_1,b\sin\theta_1)\)、\(B\) 點坐標為 \((a\cos\theta_2,a\sin\theta_2)\)，

於是兩複數差為 \(z_1-z_2=(b\cos\theta_1-a\cos\theta_2)+i(b\sin\theta_1-a\sin\theta_2)\)，

利用複數平面兩點線段公式：

\(\begin{array}{ll}c^2=\overline{AB}^2&=|z_1-z_2|^2=(z_1-z_2)\cdot(\overline{z_1-z_2})\\&=(b\cos\theta_1-a\cos\theta_2)^2+(b\sin\theta_1-a\sin\theta_2)^2\\&=a^2+b^2-2ab(cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2)\\&=a^2+b^2-2ab\cos(\theta_1-\theta_2)\\&=a^2+b^2-2bc\cos{C}\end{array}\)，

此即為餘弦定理。

參考資料：

1. Roger B. Nelsen(1993).Proof without Words: Exercises in Visual Thinking, Washington D.C.：The Mathematical Association of America.
2. 蔡聰明，《數學的發現趣談》，台北：三民書局，2000年。