波茲曼常數

波茲曼常數 (Boltznmann Constant)
國立臺南第一高級中學物理科汪登隴老師/國立臺灣師範大學物理系蔡志申教授責任編輯

波茲曼常數是關於溫度及能量的物理常數，常用 $$k$$ 或 $$k_B$$ 表示。路德維希‧波茲曼（Ludwig Boltzmann）是一個奧地利的物理學家，在統計力學的理論有重大貢獻，以其為名作為紀念的波茲曼常數在此領域相應地具有相當重要的地位。

$$\displaystyle k=\frac{R}{N_A}$$

$$R$$ 為氣體常數，$$N_A$$ 為亞佛加厥常數，所以波茲曼常數相當於一個分子的氣體常數。以下為不同單位的 $$k$$ 值。

巨觀到微觀的橋樑
波茲曼常數是巨觀到微觀的橋樑。巨觀而言，理想氣體的行為可由理想氣體狀態方程式來掌握，$$PV=nRT$$，透過壓力 $$P$$，體積 $$V$$，莫耳數 $$n$$ 及絕對溫度 $$T$$，$$R=8.314~JK^{-1}mol^{-1}$$，吾人能夠清楚知道理想氣體的表現。若引入波茲曼常數 $$k$$，則理想氣體狀態方程式可改寫成 $$PV=NkT$$，其中 $$N$$ 為分子總數。

溫度與能量關係
在絕對溫度為 $$T$$ 的熱力學系統下，熱能是由系統中微觀的自由度所決定的，每一自由度對內能的貢獻為 $$\frac{kT}{2}$$。室溫（$$300K$$）下 $$\frac{kT}{2}$$ 約為 $$2.07\times 10^{-21} J$$，或 $$13~meV$$。

在古典統計力學裏，同質性理想氣體每個原子每一自由度具有 $$\frac{kT}{2}$$。單原子理想氣體每個原子具有 $$3$$ 個自由度，對應於三個空間方向，所以每個原子的熱能為 $$\frac{3kT}{2}$$。熱能可用以計算原子的方均根速度，反比於原子量（原子質量）的平方根。

室溫下的方均根速度範圍約從氦的 $$1370~m/s$$，到氙的 $$240~m/s$$ 之間。對於分子氣體則更複雜；例如：雙原子氣體每分子約有 $$5$$ 個自由度。

熵的定義
在統計力學裏，一個系統的熵 $$S$$ 定義為 $$\Omega$$ 的自然對數，其中 $$\Omega$$ 是巨觀條件限制下（例如固定之總能量 $$E$$）的微觀狀態數目：$$S=k\ln\Omega$$；比例常數 $$k$$ 為波茲曼常數。此方程式描述系統的微觀條件 $$(\Omega)$$ 和巨觀狀態 $$(S)$$ 之間的關係，是統計力學的一個中心概念。

熱電壓
在半導體學中，穿越 P-N  二極管的電荷與電壓之間的關係，稱之為熱電壓，記號為 $$V_T$$。此熱電壓與絕對溫度有關。其關係式為：$$V_T=\frac{kT}{q}$$，其中 $$q$$ 為電荷（單位是庫侖）。

若使用電子伏特為單位，則波茲曼常數可表示溫度與能量之間的關係為 $$8.617\times 10^{-5}~eV/K$$。並可簡單計算出在室溫 $$(T\approx 300K)$$，熱電壓的值大約是 $$25.85~mV\approx 26~mV$$。

參考資料

1.維基百科–波茲曼常數  http://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_constant