廣義角的三角函數

廣義角的三角函數 (The Trigonometric Functions of a Generalized Angle)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師 / 國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

我們對角度的概念，除了銳角（\(0^\circ<\theta<90^\circ\)）之外，當然還有大或等於 \(90^\circ\) 的角度，例如：時針的旋轉、車輪的轉動、地球的公轉…等普遍存在生活中的轉動現象。所以，原先定義在銳角（\(0^\circ<\theta<90^\circ\)）條件下的三角函數，顯然無法涵蓋旋轉現象所涉及的角度範圍。但是，如何以更寬廣的角度來拓展銳角三角函數的定義呢？這個問題確實讓數學家傷透腦筋，解決之道正是直角座標系統！延拓的定義如下：

座標平面上，設 \(O\) 為原點，\(\theta\) 為標準位置角，在 \(\theta\) 的終邊上任取一點 \(P(x,y)\)，（\(P\) 不是原點），此時 \(xy\neq{0}\)，令 \(\overline{OP}=r=\sqrt{x^2+y^2}\)，廣義角的三角函數為：

廣義三角函數的定義與銳角三角函數的定義是相符一致的。此外，廣義角的三角函數值只和終邊的位置有關，即同界角的三角函數值相等。如果 \(\theta\) 的終邊落在第一、二、三或四象限，則分別稱 \(\theta\) 為第一、二、三或四象限角，如上述的四個圖形。

特別注意的是，這些定義的比值只有在分母不為 \(0\) 的情況下才有意義。至於 \(0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ\) 這些不屬於任何象限的角，三角函數值又是如何呢？一樣可以在 \(\theta\) 的終邊上任取一點 \(P(x,y)\)，若是 \(\theta\) 的終邊落在 \(y\) 軸上，則 \(P\) 點的 \(x\) 坐標為 \(0\)，所以 \(\tan\theta\) 與 \(\sec\theta\) 無意義；若是 \(\theta\) 的終邊落在 \(x\) 軸上，則 \(P\) 點的 \(y\) 坐標為 \(0\)，此時 \(\cot\theta\) 與 \(\csc\theta\) 無意義。

進一步來說，廣義角 \(\theta\) 的三角函數值是由點 \(P(x,y)\) 和 \(r\) 決定，\(x\) 和 \(y\) 可正可負，但 \(r\) 恆正，所以 \(x\) 和 \(y\) 的正負號決定三角函數值的正負號，各象限角的三角函數值之正負號整理如下：

若將表格內容再簡化，只標出三角函數值是正的，則得到右上圖。

總結來說，座標化的想法成功地將銳角擴展至廣義角、銳角三角函數延拓至廣義角的三角函數。同樣地，銳角三角函數的各種基本關係：倒數關係、商數關係、平方關係及餘角關係，由銳角推廣到廣義角仍然成立 (在函數值有意義下)。