水波的波速

水波的波速 (Speed of Water)
國立嘉義高級中學物理科 李文堂老師 / 國立彰化師範大學物理系 洪連輝教授 責任編輯

高中物理課程中，水波是非常重要的一個單元，日常生活中也常看到水波，水波槽實驗更是必做的分組實驗；讓學生深感疑惑的是：課本通常看不到有關水波的波速的公式。在本平台上登有「典型的海浪」介紹深水的表面波的公式，本文針對一些波長較短的波作介紹。

水面波的波速 $$v$$

$$\displaystyle v^2=\left(\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi T}{\rho\lambda}\right)\tanh\frac{2\pi H}{\lambda}~~~~~~~~~(1)$$

$$\displaystyle \tanh x=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$$ 是雙曲正切函數，$$e$$ 是自然對數的底 $$e\approx 2.718$$；所以水波的波速隨著 (1) 重力加速度 $$g$$ (2) 水的表面張力 $$T$$ (3) 水的密度 $$\rho$$ (4) 水的深度 $$H$$ (5) 波長 $$\lambda$$ 改變。要得知水波的波速，必須將上述的五個已知條件帶入公式，才能求得。

以下介紹幾種特例，可以用較簡單的公式求出水波的波速。

$$1.$$ 池塘的水如果深度超過 $$5~cm$$，波長不超過 $$5~cm$$，$$x=\frac{2\pi H}{\lambda}\ge 6.28$$，$$x$$ 已經過大到 $$\tanh x\approx x$$，所以波速可簡化成下列式子:

$$\displaystyle v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi T}{\rho\lambda}}~~~~~~~~~~~~(2)$$

由「算術平均數大於或等於幾何平均數」可知下列式子:

$$\displaystyle \frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi T}{\rho\lambda}\ge 2\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\times\frac{2\pi T}{\rho\lambda}}=2\sqrt{\frac{gT}{\rho}}$$

當：$$\frac{g\lambda}{2\pi}=\frac{2\pi T}{\rho\lambda}$$ 時，水波的波速有極小值，等於 $$2\sqrt{\frac{gT}{\rho}}$$

將水的表面張力 $$T\approx 72~dy/cm$$，密度 $$\rho\approx 1~g/cm^3$$，$$g=980~cm/s^2$$ 代入上二式，得到波長 $$1.7~cm$$ 的水波波速最慢 $$=23~cm/s$$，波長大於或小於 $$1.7~cm$$，水波的波速均大於 $$23~cm/s$$。

波長小於 $$1.7~cm$$ 者，是以表面張力為恢復力的表面張力波 (Capillary wave)，例如小蟲在水面行走造成的水波，微風吹動水面時，水中枯枝旁的水波，釣魚線旁的水波，都屬於這種表面張力波。

$$2.$$ 洗手前水從水龍頭落下，撞擊到水平板，會形成圓形水躍(詳見本平台另文)，水平板上的水深不到 $$1~mm$$，波長超過 $$2~cm$$，$$x=\frac{2\pi H}{\lambda}$$ 使得 $$\tanh(\frac{2\pi H}{\lambda})\approx(\frac{2\pi H}{\lambda})$$，如果表面張力忽略不計，代入公式 $$(1)$$ 中得到：$$v=\sqrt{gH}$$ 的重力波。

參考資料：
1. 楊孟欣：典型的海浪，本平台，物理編號03062008。
2. Vance A. “Waves and water beetles”, The Phys. Teach. 10-19 (1971)
3. Richard M. “Measuring g and   with water waves”, The Phys. Teach. 302-304 (1997)