如何閱讀祖沖之？（How to Read Zu Chongzhi?）

Posted on 2011/04/26 in 數學, 數學史, 數學家傳記 with 沒有迴響 4,226 views

如何閱讀祖沖之？（How to Read Zu Chongzhi?）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

對於很多人來說，祖沖之並不是陌生的中國歷史人物，譬如說吧，在一些中國古代科學家的傳記書寫中，都一定可以找到他的故事，完全不需要我們在此狗尾續貂。

不過，敘說他的生平事蹟，並著重與他的數學成就比較相關的部份，乃至於他如何看待他自己的貢獻，從傳記書寫與閱讀的觀點來看，似乎還是值得一說再說。在此，我們打算「重建」有關他的歷史故事。其中，還要特別說明有關圓周率近似值「祖率」$$\frac{355}{113}$$（日本數學史家三上義夫所命名）之價值與意義。

祖沖之 (429-500) 在中國南北朝時代的南朝劉宋朝為官，有關他的傳記相當完整，可以說明他的確作過不小的官。一般來說，平民百姓很難進入官史檔案。因此，一旦在中國歷史中找不到有關某人的文獻，我們就幾乎可以斷定他沒有作過甚麼大官。譬如說吧，中國三國時代數學雙雄－曹魏劉徽與孫吳趙爽，就都可能是名不見經傳的小人物，因此，當然沒有傳記流傳下來。

祖沖之當然不同！他是范陽逎縣（今河北淶水縣）人，曾祖祖台之曾任晉朝侍中，祖父祖昌開始在南朝為官，任劉宋大匠卿，父親祖朔之奉朝請。他自己則在劉宋大明六年 (462年) 擔任南徐州（現在鎮江）從事史。按此官職大約相當於地方上行政組織的科長或科員，階級最高為七品。

看起來，此時他官位不高，然而，他製作《大明曆》，並推求圓周率的精密近似值：$$3.1415926<\pi<3.1415927$$，卻都是此時的工作。《隋書‧律曆志》特別指出他當時官銜為「南徐州從事史」，或有意紀錄他的研究生涯之階段。

後來，他又升遷為婁縣（今江蘇崑山）令、謁者僕射，前者是六品與七品不定，後者掌管朝廷禮儀，是五品官。他奉命製造指南車、木牛流馬、千里船與其他奇器，大概都是此時的工作。事實上，按之史籍，南北朝時代可以說是中國奇器製造最風行的時代，至於此時中國人似乎不顧「奇技淫巧」之道德規勸，放縱巧思而製造奇器，或許可以歸之於帝王宮廷的時尚愛好，但是，整體文化的風潮走向重視個體自覺表現，恐怕也是不容忽視的因素之一。

祖沖之的「多才多藝」，也表現在他「當時獨絕」的「鐘律博塞」。所謂鐘律，當然是指五音十二律的研究，由於音程與律管長度有關，所以，黃鐘律管長度的訂定，就變得十分重要。相傳祖沖之曾鑄有銅尺傳世，應該與此有關。另外，所謂「博」與「塞」是指古代兩種遊戲，今已失傳。不過，史載稱玩家需要懂一點數學，祖沖之也因善解這些遊戲之奧妙，而馳名於當時。

祖沖之的最後官職是蕭齊朝的長水校尉，是五營教尉之一，比謁者僕射還高一品。終其一生，他的大明曆始終沒有機會使用，直到他兒子祖在南齊任官時，才獲得頒布使用，這是南齊天監八年（509年），距離祖沖之謝世已有五年，而距離他制定那一年（大明六年，公元462年），則更是長達47個年頭了。

公元462年，他已經擔任南徐州從事史了。史家認為在這之前，他應該已經完成有關《九章算術》註解與圓周率的研究工作，當時他才30歲出頭而已。在那一年之後，他似乎非常努力為官，希望在宦途上有一點作為。這或許可以解釋他何以鍥而不捨地進獻《大明曆》，以獲得帝王的青睞。在這個脈絡中，他與權臣戴法興辯論所寫的〈大明曆議〉，也見證了公元第五世紀中國歷史上的科學爭議。

另一方面，祖沖之父子研究《九章算術》球體積公式時，完全是根據劉徽注解中的提示，成功地計算了「牟合方蓋形」的體積，才得以想出並證明球的體積公式。然則他何以批評劉徽的研究工作呢？我們實在無從理解，除非劉徽在曆法方面有一些研究成果，入不了祖沖之法眼。值得注意的，此一對劉徽乃至於當時天算家的評論，顯然為《隋書‧律曆志》的編者所引用。

從現在的「後見之明」來看，如果追溯「祖率」這個圓周率近似值怎麼來的，我們有必要回到劉徽註解《九章算術》。此一注文，可以說是公元第三世紀世界數學史上的最重要文本之一。劉徽先證明圓面積等於「半周半徑相乘」，再從一個直徑為二尺的圓開始割圓，由內接正 $$6$$ 邊形開始，迭代地求得圓內接正 $$96$$ 邊形之面積，最後得知圓面積近似於 $$314$$（平方）寸。

或許祖沖之的《綴術》也記載有類似的研究成果吧！可惜，本書的失傳，讓我們無法掌握直接證據以評定他的貢獻。然則「祖率」究竟是怎麼來呢？數學史家認為祖沖之可能利用了連分數的「漸近分數法」。根據此一方法，祖沖之將 $$\frac{3927}{1250}$$、$$3.1415926$$ 與 $$3.1415927$$ 表徵為連分數展開式，再分別求各自的漸近分數如下：

$$(1)~~~\displaystyle\frac{3927}{1250}=3+\frac{1}{7+\frac{1}{16+\frac{1}{11}}}$$，其漸近分數為：$$\frac{3}{1}$$，$$\frac{22}{7}$$，$$\frac{355}{113}$$，$$\frac{3927}{1250}$$

$$(2)~~~\displaystyle3.1415926=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{362}{88156}}}}$$，其漸近分數為：$$\frac{3}{1}$$，$$\frac{22}{7}$$，$$\frac{333}{106}$$，$$\frac{355}{113}$$，$$\frac{86598}{27565}$$…

$$(3)~~~$$模仿上述 $$(2)$$，$$3.1415927$$ 之漸近分數如下：$$\frac{3}{1}$$，$$\frac{22}{7}$$，$$\frac{333}{105}$$，$$\frac{355}{113}$$，$$\frac{126003}{40108}$$…

因此，祖沖之「從中挑選 $$\frac{22}{7}$$ 為『約率』，$$\frac{355}{113}$$ 為『宻率』，是十分自然的。」為了強化此一推測的合理性，史家特別指出中國古代曆家常用它以推求各種天體會合周期。譬如劉歆制定《三統曆》時，就利用了此一方法。

其實，第五世紀的印度數學家與天文學家阿耶波多，也利用了漸近分數來解二元一次方程（其中 $$a,b,c$$ 都是整數）的整數解。不管當時中印數學有沒有交流，連分數展開與漸近分數的概念，似乎是第五世紀數學家都已經掌握到的重要數學方法。

附帶一提，我們今天都運用「歐拉法」來解這種不定方程，但是，此一方法實質上卻是漸近分數的概念，至於如何將一個實數展開成為（或表徵為）連分數，則本質是一種輾轉相除法。最後這個方法，在《九章算術》乃至更早的《筭數書》（公元前186年）都已現身，可見古代中國人提出「漸近分數法」的歷史條件，到了漢代之後應該已經成熟了。

由於祖沖之的《綴術》到了宋代已經失傳，所以，他如何求得「祖率」，才會成為數學史上的千古懸案。本書在唐初曾由李淳風等註釋、輯入所謂的《算經十書》，作為國子監太學明算科（類似現代的國立大學數學系）的教科書，其他九部有《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《五曹算經》、《五經算術》、《夏侯陽算經》與《緝古算經》。現傳的《算經十書》，則是宋代刊刻時，以《數術記遺》補上前九部而成。至於失傳的原因之一，據說是內容過於艱深所致，它在明算科中必須修習的時間最多 ─ 高達四年，讓很多師生望而卻步。

儘管如此，我們從《九章算術》劉徽注以及《隋書‧律曆志》的文本，應該足以「重建」祖沖之推求圓周率的過程，尤其是針對他如何找到「祖率」。這些「理性重建」（rational reconstruction）的工作，當然可以幫助「現在的」我們閱讀祖沖之！問題是：我們的最佳切入點是什麼？

一般來說，傑出人物的傳記如果故事說得動人，對於讀者應該具有人格的薰陶作用，尤其是如果涉及傳主的科學知識活動如何受到「不當」的壓制，則更有科學普及所標榜的「啟蒙」（enlightenment）價值。這是敘事的部份，任何一種科學家傳記書寫都不會錯過。

然而，以祖沖之為例，他與權臣戴法興有關「大明曆」的科學爭議，恐怕仍有待新的史學觀點與研究，才能完全釐清。平心而論，對於祖沖之自己來說，「大明曆」的重要性遠遠大於圓周率的推求。這是因為前者絕對是國家大事，至於算學研究呢，請不要忘記（南齊）顏之推的見證，他在《顏氏家訓》中告誡顏家子孫：「算術亦是六藝要事，自古儒士論天道、定律曆者皆學通之。然可以兼明，不可以專業。」

不過，這個社會文化脈絡，倒是反過來更「證成」(justify) 了祖沖之算學研究的難能可貴。儘管「祖率」可能並不是祖沖之一生中最想珍視的成就，但是，他畢竟因而在數學史上不朽！所以，如果我們希望通過歷史的書寫與閱讀，向祖沖之這位大師「學習」，那麼，他如何推求「祖率」的過程，絕對是最值得還原的題材之一。這也是數學家傳記書寫不可缺少的「認知」面向。只要對這一點無暇顧及，那麼，所謂的「祖沖之傳」與其他一般歷史人物的傳記就很難區隔，連帶地，也就難以呈現相關的數學知識活動之趣味與特色了。

是的！我們非常希望下次再讀到「祖沖之」時，可以發現書寫者在適當的「脈絡」中討論「祖率」的認知意義，而不只是以「消費文化符碼」的方式，「徒然地」說它準確到小數點後第六位：$$3.1415926$$ 等等、等等 ……。

參考文獻：