代數基本定理（Fundamental Theorem of Algebra, FTA）

代數基本定理（Fundamental Theorem of Algebra, FTA）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授 /國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯 

一七九九年，高斯（Johann Carl Friedrich Gauss, 1777-1855）證明了代數基本定理（FTA），完成了他在前一年有關正十七邊形可以尺規作圖的證明之後，再一個偉大的數學貢獻。而這，也是他的博士論文主題。

這一篇學位論文的題目為：「有關單變數的有理整函數可以分解為一次或二次實因式的乘積之新證明」（A new proof that every rational integral function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree）。其中，如果允許複數的話，所謂的二次實因式，即可分解為一次因式的乘積，如此，此一有理係數多項式（即高斯所謂的「單變數的有理整函數」），也就跟著可以分解為一次因式的乘積了。

高斯的題目相當冗長，這是當時的論著之風尚，但是，也反映了高斯的謹慎。首先，他不想觸及複數系之正當性議題，這是因為當時數學家對於複數之邏輯基礎，還頗有爭議。此外，所謂的「新」，是他刻意指出：他不想掠前賢之美，儘管從現在文獻來看，曾經宣稱證明此一FTA（定理）的，都通不過嚴密性的檢驗標準。

在數學史上，十七世紀的吉拉德（Girard）與笛卡兒（Descartes）曾經提出但未證明FTA的類似版本。到了該世紀末，微積分的發展使得數家必須計算有理函數的積分，如此一來，有理函數如何分解為一次或二次因式 — 這個其實也是多項式因式分解問題受到注意的主要原因 — 遂變得十分重要。於是，十八世紀數學家達倫伯（D’Alembert）與歐拉（Euler）開始嘗試證明FTA，可惜，他們都功虧一簣。

按照當時的標準來看，高斯在博士論文中所提供的證明是嚴密的，儘管從現代標準來看，也不無邏輯缺陷。不過，高斯後來又多給了另外三個不同證明，最後一個完成於1849年，然而，這四個乃至於二十世紀其他數學家所提供的許多證法，都不是純代數的進路。

事實上，這個定理的最一般形式為：每一個複係數多項式都有一個複數根。而這樣的多項式卻可以同時視為代數的、分析的乃至拓樸的物件（algebraic, analytic and topological object）。這當然也解釋了何以這些領域都需要FTA，從而它的證明也都連結到這些領域。數學史家 Israel Kleiner曾經評論說：這個代數學的基本定理本質上缺乏純粹的代數證明，看起來的確有些弔詭，不過，「奇數次的實係數多項式必定有一個實根」，卻是所有代數證法都無法避免使用的分析學結果。

上述這個極富方法論意義的反思，對於數學教師的素養至為重要。因為在高中教學現場，代數基本定理顯然無法證明，因此，它的價值與意義，只能從它的用途來賦予。而這當然立即連結到它所代表的存在性意義（meaning of existence） －$$n$$ 次實係數方程式一定有 $$n$$ 個複數根，從而在解題活動中提供了有解的保證。試想若非代數方程式的根存在，則即使只是追求它的根之近似值 － 這是因為五次以上的一般代數方程式無法以根式求解，當然也就不具備任何意義了。

事實上，高斯證明這個定理乃至於他在1801年出版《數論研究》（Disquisitiones Arithmeticae），對於十九世紀的數學發展，帶來了極深遠的影響。這是因為高斯在這些研究中，大大地強調數學的結構性面向（structural aspect）之重要性。對他而言，解出方程式的根固然重要，但若辦不到的話，探索其根否存在，也非常重要。高斯在1799年證明FTA，以深化代數結構面向的風格，揮別了以求解方程式根的運算面向（operational aspect）為特徵的十八世紀。因此，數學史家都將他視為區隔十八、十九世紀西方數學的偉大數學家。

參考書目：

1. Kleiner, Israel (2007). A History of Abstract Algebra. Boston/Basel/Berlin: Birhauser.
2. Stewart, Ian (2007). Why Beauty Is Truth: A History of Symmetry. Princeton, NJ: Princeton University Press.
3. Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics (Fourth revised edition). New York: Dover Publications, INC.