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多項式函數圖形的遞增、遞減與凹凸性(Increasing, Decreasing, Concave and ConvexProperties of Polynomial Functions)

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多項式函數圖形的遞增、遞減與凹凸性(Increasing, Decreasing, Concave and ConvexProperties of Polynomial Functions)
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

摘要:本文說明多項式函數圖形的遞增、遞減、凹向上、凹向下,以及在區間 上的遞增函數、嚴格遞增函數、遞減函數、嚴格遞減函數、單調函數。

藉助今日科技發展之便,只要打開電腦,執行數學繪圖軟體程式,然後任意輸入一個多項式函數,一瞬間,它的圖形就會顯示在眼前。例如下圖就是利用數學繪圖軟體GeoGebra所繪的 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)之圖形。

然而,在沒有電腦的時代,人們是如何繪製、研究多項式函數的圖形呢?觀察多項式函數的圖形,可以發現構成圖形的基本組成不外是下列幾種:

圖一至圖三代表的是直線,是一次函數或常數函數才會有的圖形,故一次函數與常數函數又合稱為「線型函數」。至於剩下的四種曲線,則是二次以上的函數圖形才會出現的。現在我們該怎麼將這七種圖形分類呢?

首先,若將圖形視為坐標平面上的路徑,則沿著路徑向右走( x 坐標增加),在圖一、圖四與圖五中,位置會不斷地向上移動( y 坐標增加);在圖三、圖六與圖七中,位置會不斷地向下移動( y 坐標減少);而在圖二之中,位置則一直保持水平( y 坐標不變)。這種y坐標隨著x 坐標增加而變化的性質,我們就稱為函數的遞增、遞減,用數學符號定義如下:

因此,若圖一至圖七是代表不同的多項式函數在區間 [a,b] 上的圖形,則圖一、圖四與圖五表示對應的函數在區間 [a,b]上為「嚴格遞增函數」,當然也可稱為「遞增函數」。圖三、圖六與圖七表示對應的函數在區間 [a,b] 上為「嚴格遞減函數」,當然也可稱為「遞減函數」。
那圖二呢?顯然它是常數函數f (x) = k(k為常數)的圖形,照上面的定義方式,說它在區間 [a,b] 上為「遞增函數」或「遞減函數」,其實都可以。

圖四與圖五這兩種曲線都代表函數在區間 [a,b] 上是(嚴格)遞增函數,但兩者看起來並不像。不一樣的地方是,在圖四上任兩點所連成的線段必在圖形的下方(如圖八),我們稱具此性質的圖形為「凹口向下」,簡稱「凹向下」;而在圖五上任兩點所連成的線段必在圖形的上方(如圖九),我們稱之為「凹口向上」,簡稱「凹向上」。同樣地,圖六是「凹向下」,而圖七是「凹向上」(如圖十、十一)。

綜合說來,除了線型函數外,多項式函數圖形的特性,我們可以再從「遞增」、「遞減」、「凹向上」與「凹向下」來做更進一步的細分。事實上,在往後的微積分課程之中,我們將會學到利用一階導數與二階導數來判別這些特性,並作更完整、詳盡的說明。

參考資料:
1. 林福來等 (2011),《普通高級中學數學第一冊》,南一書局。

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