阿基米德的胃痛拼圖(stomachache puzzle)

阿基米德的胃痛拼圖(stomachache puzzle)
國立台中女中數學科賴信志老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

摘要：本篇將介紹一道差一點就消失，而且是世界上最古老的拼圖遊戲…胃痛拼圖。

這裡我們將介紹一道差一點就消失，而且是世界上最古老的拼圖遊戲。在加州史丹福大學同步輻射實驗室，古文物復原專家運用紫外光與數位圖像電腦處理技術，讓阿基米德發明的一道遊戲重現天日。

在1998 年10 月30 日，《紐約時報》頭版登了一則報導：紐約佳士得拍賣會上，有一本其貌不揚的古書，以美金 200 萬的高價成交。從外表看，這本書就像是中世紀某位修士的祈禱書，磨損不堪，布滿燒焦、水漬、發霉的痕跡。然而在祈禱文的下方，隱約可看見幾乎被擦拭掉的、傳抄自古代科學家阿基米德的抄本。

這祈禱書是教士約翰•麥隆納斯於公元1229 年4 月14 日抄寫，想在耶穌復活周年日，當作禮物獻給教會。羊皮紙從古代中世紀開始使用，由於價值極為貴重，通常經過皮面刮削後，重新書寫，被稱為再生羊皮紙，麥隆納斯將祈禱文書寫在再生羊皮紙上。透過高科技的掃瞄，祈禱書最後一頁原本是阿基米德稱為《胃痛》的一篇文章。該文章並非談身體的疼痛，而是在論述一道組合學的問題，而且附了一個正方形的插圖：

阿基米德的《胃痛》拼圖

將阿基米德胃痛拼圖的正方形切割成 14 塊之後（如下圖所示），再重新拼湊成為正方形的組合方法有多少種？

在這再生羊皮書上，阿基米德所給的答案是 $$17152$$ 種！這答案經過電腦科學家比爾•卡特勒驗證無誤，卡特勒也指出：將旋轉或者鏡射視為同一種的話，仍然有 $$536$$ 種不同的拼法。事實上，幾位鼎鼎有名的數學家，如隆•格拉罕及金芳蓉夫婦檔，都只靠紙與筆就算出這個數字。相傳在西元前 23 世紀大禹治水的時候，在黃河支流洛水中，浮現出一個大烏龜，甲上背有 $$9$$ 種花點的圖案，人們將圖案中的花點數了一下，競驚奇地發現 $$9$$ 種花點數正巧是 $$1-9$$ 這 $$9$$ 個數，各數位置的排列也相當奇妙，後來人們就稱這個圖案為洛書。

洛書給出的 $$9$$ 個數所排成的方陣具有絕妙的性質，橫的 $$3$$ 行、縱的 $$3$$ 列以及兩對角線上各自的數字之和都是 $$15$$。人們因它的性質之獨特而大感興趣，對其進行了多方面的研究。中國把這“縱橫圖”或西方稱為“幻方”的精巧結構當作組合數學的濫觴。再生羊皮書的出現，西方似乎也把組合數學的濫觴往前推算到阿基米德的《胃痛》遊戲。

阿基米德的羊皮紙手稿，由丹麥學者海伯格於 1906 年在今之伊斯坦堡發現， 1920 年再度失蹤，1998 年出現在紐約佳士得拍賣會上。該次拍賣，希臘代表競標至美金 190 萬才退出，而最後的得標者，是一位不願意透露姓名的美國收藏家，這位收藏家說，將來學者可以借閱該手稿。阿基米德的 $$14$$ 塊拼圖，除了拼成正方形的遊戲之外，也可以玩類似中國七巧板的遊戲，拼各種動物。

七巧版

《胃痛》拼圖最早出現在中世紀的阿拉伯文譯本上，大家都把它視為類似中國七巧板的遊戲，定位為益智遊戲的一種。事實上，數學家也研究過正方形與正三角形的拼圖，下圖是將正方形分割成四塊，然後逐步拼成正三角形的過程：

直到再生羊皮書的出現，才瞭解阿基米德是在研究拼成正方形的組合方法數，並不是拼圖遊戲或是七巧板之類的益智遊戲。也因為這樣，阿基米德也成為西方組合學的老祖先。這裡附上胃痛拼圖眾多解答中的一種，也是個人覺得很漂亮的拼法：

胃痛拼圖的啟發與延伸：

1. 透過格子點的巧妙切割，阿基米德找到了一道有萬餘種拼法的拼圖遊戲，不僅讓我們開了眼界，也替拼圖遊戲增添了豐富的遺產。
2. 多邊形的拼圖遊戲，在接觸頂點處牽涉到角度和的問題，由於每塊拼圖的邊長至多是開根號的長度，瞭解這個限制所能形成的角度和問題是值得深思的一道數學問題。
3. 尋找面積稍小，拼圖個數也較少（例如八､九或十塊的拼圖），但拼法有數千種的新拼圖遊戲。這樣的拼圖遊戲是否存在？如果可以找到，肯定是一道更膾炙人口的拼圖遊戲。有興趣的讀者可以動手試試看。

參考文獻：

1. 曹亮吉譯（內茲，諾爾著），《阿基米德寶典－失落的羊皮書》，天下文化出版。