豹斑的數學

豹斑的數學
知識通訊評論第42期

數學方程式試解發育中貓科動物的毛皮花樣之謎。

沒人確實知道有著華麗毛皮的動物是如何得到這些花樣的，不過由涂林 (Alan Turing) 在一九五二年發展出來的一個方程式，對於製造與斑馬皮以及花豹斑點酷似之物相當管用。這個方程式如今被用來作一數學模型，描述斑點如何隨著動物長成，變換成更複雜的花樣。

涂林認為有兩個他稱之為「成形素」 (morphogen) 的化學物，在多少算是二度空間的毛皮表面上互動以製造花樣。舉例來說，假如有個成形素造成毛髮變黑，另一個成形素造成毛髮保持蒼白，那麼這些化學物穿透毛皮的擴散率不同，伴隨著兩者之間繁複的作用，就會決定花樣形式。

涂林將這稱之為「反應–擴散方程式」。透過操弄成形素的擴散速度與其他行為等等變數，研究者得以利用這些方程式，複製出常見的毛皮花樣。

舉例而言，倘若有個成形素使毛髮變黑，但也會啟動蒼白成形素，而黑色成形素擴散得又比蒼白成形素來得快，這就能解釋一種在某些毛皮上所見的斑點：隨意一塊黑色成形素向外擴散，同時啟動擴散較慢的蒼白成形素，讓它隨後發生作用，從而製造出一個黑環。

幼獸斑點

但是成年大型貓科動物具有複雜得多的花樣。貓咪的斑點很單純，然而詳查花豹皮毯就會發現，成年花豹的毛皮花樣更像是碎裂的圓圈。成年美洲豹的毛皮花樣甚至更加複雜，是由中央有小斑點的多邊形構成。

國立中興大學物理系的廖思善教授

台中國立中興大學物理系的廖思善教授及其同事，對於貓科動物的毛皮花樣，特別是美洲豹毛皮的繁複樣式很感興趣，想利用涂林方程式複製這些花樣，卻總是弄不出來；後來才發現除了操弄反應–擴散方程式的變數以外，他們需要做得更多，必須假設斑點成長分成兩階段，其規則各有不同。

利用兩階段涂林方程式模型，來複製這些貓科動物的毛皮花樣，其發現過程饒富趣味。廖思善實驗室裡的一位博士生，曾經成功複製出美洲豹的毛皮花樣，但是由於在過程中操弄了太多方程式裡的變數，回顧過程已理不出脈絡，無法確知是如何得到這個結果的。

該研究團隊後來在偶然間閱讀到一篇生物統計學的論文，指出美洲豹的豹斑在年幼時是簡單的斑點狀，成長後才碎裂成繁複的多邊形；這給他們一個靈感，也許應該將涂林方程式分成兩個階段處理，第一階段先得到幼年貓科動物的斑點，然後調整參數，在第二階段創造出最終的花樣輪廓。

該篇生物統計學論文的實證，加上受到啟發的新研究方向，讓廖思善的團隊有信心得以在原先意外做出的結果裡，歸納出正確的推演過程，不過前前後後還是耗費了一年才找到最終答案。廖思善在《物理評論 E 》報告其研究成果時表示，美洲豹的毛皮花樣是最困難的部分，試圖只用一個階段做出花樣的人恐怕不會成功，必須要分成兩階段才行。

兩個階段

有機會造訪英國曼徹斯特之時，不妨來薩克維爾公園 (Sackville Park) 跟一代天才涂林並肩沈思。

在美國阿拉巴馬州奧本大學研究涂林模型的馬茲瓦慕斯 (Anotida Madzvamuse) 說，美洲豹毛皮花樣的困難度讓他感到很有意思。他表示很想知道為何不可能用單一階段就得出結果。

成形素是涂林所設想的一種化學物，然而沒有任何人看過成形素以實體呈現，所以由這些方程式創造出來的毛皮花樣，究竟實際上是怎麼在真實的貓科動物身上生成，其過程並不清楚。廖思善表示，雖然有相關研究聲稱可能觀察到實體的成形素，但是證據仍不充分，不能就此論斷它確實存在。

給成形素加上兩套規則，甚至讓情況更加複雜。假如這確實反映了發生在貓科動物身上的事，意味著某個與動物年歲有關的事物，啟動了影響毛皮顏色作用的生物規則。馬茲瓦慕斯提出的想法是，參數值也許跟動物體型大小有關。