半角公式(I)

半角公式(I) (Half-angle Formulas)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

三角函數中的半角公式：

\(\displaystyle\sin\frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{{1-\cos\theta }}{2}}\) (\(\pm\) 號依 \(\displaystyle\frac{\theta}{2}\)在第幾象限而定)

\(\displaystyle\cos\frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{{1+\cos\theta }}{2}}\) (\(\pm\) 號依 \(\displaystyle\frac{\theta}{2}\)在第幾象限而定)

\(\displaystyle\tan \frac{\theta }{2}=\pm\sqrt {\frac{{1-\cos \theta }}{{1+\cos \theta }}}= \frac{{\sin \theta }}{{1+ \cos \theta }}= \frac{{1- \cos \theta }}{{\sin\theta }}= \frac{{1+\sin \theta- \cos \theta }}{{1+ \sin \theta+ \cos \theta }}\)

上述半角公式的證明是根據二倍角公式：\(\cos 2\alpha= 2{\cos^2}\alpha- 1= 1- 2{\sin^2}\alpha\)，

令 \(2\alpha=\theta\) 即 \(\displaystyle\alpha=\frac{\theta}{2}\)，移項得 \(\displaystyle 2{\cos ^2}\frac{\theta }{2} = 1+\cos\theta ,2{\sin ^2}\frac{\theta }{2} = 1 -\cos \theta\)，

再移項及開平方得 \(\displaystyle\sin \frac{\theta }{2}=\pm\sqrt{\frac{{1-\cos\theta }}{2}}\)，\(\displaystyle\cos \frac{\theta }{2}=\pm\sqrt{\frac{{1+\cos\theta }}{2}}\)，

將兩式相除得 \(\displaystyle\tan \frac{\theta }{2} = \frac{{\sin \frac{\theta }{2}}}{{\cos \frac{\theta }{2}}}=\frac{{\pm\sqrt {\frac{{1 -\cos \theta }}{2}} }}{{\pm\sqrt {\frac{{1 + \cos \theta }}{2}} }} =\pm\sqrt {\frac{{1 – \cos \theta }}{{1 + \cos \theta }}}\)，

或根據正弦的二倍角公式 \(\sin{2\theta}\)，得 \(\displaystyle\tan \frac{\theta }{2} = \frac{{\sin \frac{\theta }{2}}}{{\cos \frac{\theta }{2}}} = \frac{{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}}{{2{{\cos }^2}\frac{\theta }{2}}} = \frac{{\sin \theta }}{{1 + \cos \theta }}\)，

或 \(\displaystyle\tan \frac{\theta }{2} = \frac{{\sin \frac{\theta }{2}}}{{\cos \frac{\theta }{2}}} = \frac{{2{{\sin }^2}\frac{\theta }{2}}}{{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}} = \frac{{1 – \cos \theta }}{{\sin \theta }}\)，

將兩式用和比定理得 \(\begin{array}{ll}\displaystyle\tan \frac{\theta }{2}&=\displaystyle\frac{{\sin\theta }}{{1+\cos \theta }}=\frac{{1 – \cos \theta }}{{\sin\theta }}\\&=\displaystyle\frac{{\sin \theta+ (1 -\cos \theta )}}{{1+ \cos\theta+ \sin \theta }}= \frac{{1+\sin \theta- \cos \theta }}{{1 +\sin \theta+\cos \theta }}\end{array}\)，

當然也可以使用分比定理得 \(\displaystyle\tan \frac{\theta }{2} = \frac{{ – 1 + \sin \theta+ \cos \theta }}{{1 – \sin \theta+ \cos \theta }}\)。

除了代數證明外，圖形證法更容易讓學生一目了然，如圖一：\(\displaystyle\tan \frac{\varphi }{2} = \frac{{\sin \varphi }}{{1 + \cos \varphi }}\)。

圖一\(~~~\)來自Wikipedia

另一個圖形證明，如圖二：\(\displaystyle\tan\frac{\alpha }{2}=\frac{{\sin \alpha }}{{1+ \cos \alpha }}\)。

圖二\(~~~\)來自Wikipedia

半角公式的目的除了能將三角函數降次之外，另一目的是求一些特殊角的三角函數值，如圖三：

\(\begin{array}{ll}\displaystyle\sin {11.25^\circ}&=\displaystyle\sqrt {\frac{{1 – \cos {{22.5}^\circ}}}{2}}= \frac{1}{2}\sqrt {2 – 2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt {2 + 2\cos {{45}^\circ}} }\\&=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt {2 – \sqrt {2 + 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}} }= \frac{1}{2}\sqrt {2 – \sqrt {2 + \sqrt 2 }}\end{array}\)

\(\begin{array}{ll}\displaystyle\cos {11.25^\circ}&=\displaystyle\sqrt {\frac{{1 + \cos {{22.5}^\circ}}}{2}}= \frac{1}{2}\sqrt {2 + 2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt {2 + 2\cos {{45}^\circ}} }\\&=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt {2 +\sqrt {2 + 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}} }= \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 +\sqrt 2 } }\end{array}\)

圖三\(~~~\)單位圓內接正十六邊形的部分圖形

根據上述的 \(\sin {11.25^\circ} =\frac{1}{2}\sqrt {2-\sqrt{2+\sqrt 2}}\) 值，

我們可從幾何圖形中，求出單位圓中內接正十六邊形的周長，

因為 \({360^\circ} \div 16 = {22.5^\circ}\)，也就是上圖三 \(\angle BAC=22.5^\circ\)，

因為 \(\overline {AD}\bot \overline {BC}\) 且 \(\overline {AB}=\overline {AC}= 1\)，得 \(\angle CAD = {22.5^\circ} \div 2 = {11.25^\circ}\)，

根據正弦的定義得 \(\overline {DC}=\overline {AC}\cdot \sin {11.25^\circ} = \frac{1}{2}\sqrt {2 – \sqrt {2 + \sqrt 2 } }\)，

所以，單位圓中內接正十六邊形的周長為 \(16 \times 2\overline{DC}= 16\sqrt {2 – \sqrt {2 + \sqrt 2 } }\)。

連結：半角公式(II)

參考資料

1. 毛爾(Eli Maor)，鄭惟厚譯，《毛起來說e》，台北：天下遠見出版社，2000。
2. 毛爾(Eli Maor)，胡守仁譯，《毛起來說三角》，台北：天下遠見出版社，2000。
3. 朱建正編撰，《數學問題百則》，台北 : 中央研究院數學研究所，1998，頁48-50。