實數的三角不等式

實數的三角不等式 (Triangle Inequality for Real Numbers)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

若 \(a,b\) 為實數，\(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)，“\(=\)”成立時，\(ab\ge 0\)。(此不等式可以利用三角形的兩邊之和大於第三邊來理解，因此，稱之為三角不等式。)

證明：

因為 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge 0,~\left| {a + b} \right| \ge 0\)，直接相減或相除無法順利運算，因此，考慮平方相減

\(\begin{array}{ll}{\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2} – {\left| {a + b} \right|^2} &= \left( {{{\left| a \right|}^2} + 2\left| a \right|\left| b \right| + {{\left| b \right|}^2}} \right) – {\left( {a + b} \right)^2}\\&= \left( {{a^2} + 2\left| {ab} \right| + {b^2}} \right) – ({a^2} + 2ab + {b^2})\\&= 2\left( {\left| {ab} \right| – ab} \right) \ge 0\end{array}\)

因此，\({\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2} \ge {\left| {a + b} \right|^2}\)，即 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

“\(=\)”成立時， 即 \(\left| {ab} \right| – ab = 0\)移項得 \(\left| {ab} \right| = ab\)，\(\therefore ab\ge 0\)。

若將上述的 \(b\) 用 \(-b\) 代入，則三角不等式可以轉換成 \(\left| a \right| + \left| { – b} \right| \ge \left| {a + ( – b)} \right|\)，

整理得 \(\left| {a – b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\)，“\(=\)”成立時，\(ab\le 0\)，此為三角不等式的等價命題。

我們也可以進一步改寫成若 \(a,b\)為實數，則 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a – b} \right|\ge\left| a \right| – \left| b \right|\)。

證明：

利用  \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|{x+y}\right|\)

1. 令 \(x=a\)，\(y=-b\) 代入 \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge \left|{x+y}\right|\)，得 \(\left|a\right| + \left|b\right| \ge \left| {a-b} \right|\)。
2. 令 \(x=a-b\)，\(y=b\) 代入 \(\left|x\right| + \left|y\right| \ge \left| {x + y} \right|\)
   \(\therefore\)\(\left| a-b \right| + \left| b \right| \ge \left| {a} \right|\)，得 \(\left|a-b\right|\ge \left|a\right|-\left|b\right|\)。

由 1.2. 知：\(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a – b} \right|\ge\left| a \right| – \left| b \right|\)。

教學上常出現利用三角不等式求最小值的問題，

例如：若 \(x\) 為實數，則當 \(x=\underline{~~~~~~}\)時，求 \(\left| x-1 \right| +\left | x-2 \right|\) 有最小值。

解法一：利用三角不等式，

\(\because\left| {x – 1} \right| + \left| {x – 2} \right| = \left| {1 – x} \right| + \left| {x – 2} \right| \ge \left| {(1 – x) + (x – 2)} \right| = \left| { – 1} \right| = 1\)，等號成立時，\((1-x)(x-2)\ge 0\)，即 \((x-1)(x-2)\le 0\) ，得 \(1\le x \le 2\)。

解法二：考慮 \(\left| x-1 \right|\) 的幾何意義為數線上，有一個點 \(x\) 到 \(1\) 的距離，
所以 \(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|\)，即為點 \(x\) 到 \(1\) 與到 \(2\) 的距離和，從實際數線上可看出，
當 \(1\le x\le 2\) (兩數的中位數)時，\(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|\) 有最小值 \(1\)。

解法三：考慮去絕對值，令

\(y = \left| {x – 1} \right| + \left| {x – 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l} x \ge 2,y = (x – 1) + (x – 2) = 2x – 3\\ 1 \le x < 2,y = (x – 1) + (2 – x) = 1\\ x < 1,y = (1 – x) + (2 – x) = 3 – 2x \end{array} \right.\)

將絕對值函數轉換成折線問題，從圖形中可以看出，在 \(1\le x \le 2\) 時，\(\left| x-1\right|+\left| x-2\right|\) 有最小值 \(1\)。

例如：若 \(x\) 為實數，則當 \(x=\underline{~~~~~~}\) 時，求 \(\left| x+1\right|+\left| x-3\right|+\left| x-7\right|\) 有最小值。

解法一：利用三角不等式，

\(\begin{array}{ll}\because\left| {x + 1} \right| + \left| {x – 3} \right| + \left| {x – 7} \right| &= \left| {x + 1} \right| + \left| {7 – x} \right| + \left| {x – 3} \right| \\&\ge \left| {\left( {x + 1} \right) + (7 – x)} \right| + \left| {x – 3} \right| = 8 + \left| {x – 3} \right|\end{array}\)

，等號成立時，\((x+1)(7-x)\ge 0\)，即 \((x+1)(x-7)\le 0\)，得 \(-1\le x\le 7\)，

所以，在 \(x=3\) 時，\(\left| {x + 1} \right| + \left| {x – 3} \right| + \left| {x – 7} \right|\) 有最小值 \(8\)。

解法二：直接考慮中位數的概念，令 \(x+1=0,~x-3=0,~x-7=0\)，得 \(x=-1,~3,~7\)，此三數的中位數為 \(3\)，因此，在 \(x=3\) 時，\(\left| {x + 1} \right| + \left| {x – 3} \right| + \left| {x – 7} \right|\) 有最小值 \(8\)。

解法三：考慮去絕對值，令

\(\begin{array}{ll}y &= \left| {x + 1} \right| + \left| {x – 3} \right| + \left| {x – 7} \right| \\&= \left\{ \begin{array}{l} x \ge 7,y = (x + 1) + (x – 3) + (x – 7) = 3x – 9\\ 3 \le x < 7,y = (x + 1) + (x – 3) + (7 – x) = x + 5\\ – 1 \le x < 3,y = (x + 1) + (3 – x) + (7 – x) = 11 – x\\ x < – 1,y = ( – x – 1) + (3 – x) + (7 – x) = – 3x + 9 \end{array} \right.\end{array}\)

從圖形中可以看出，在 \(x=3\) 時，\(\left| {x + 1} \right| + \left| {x – 3} \right| + \left| {x – 7} \right|\) 有最小值 \(8\)

數學思考：已知十個實數 \(x_1,~x_2,…,x_{10}\)，若滿足 \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| + … + \left| {{x_{10}}} \right| = 10\)，
求 \(\left| {{x_1} – {x_2}} \right| + \left| {{x_2} – {x_3}} \right| + … + \left| {{x_{10}} – {x_1}} \right|\) 的最大值               。

參考解法：

因為

\(\begin{array}{ll}\left| {{x_1} – {x_2}} \right| + \left| {{x_2} – {x_3}} \right| + … + \left| {{x_{10}} – {x_1}} \right| &\le \left( {\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|} \right) + \left( {\left| {{x_2}} \right| + \left| {{x_3}} \right|} \right) + …(\left| {{x_{10}}} \right| + \left| {{x_1}} \right|) \\&= 2\left( {\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| + … + \left| {{x_{10}}} \right|} \right) \\&= 2 \times 10 = 20\end{array}\)

，最大值成立時，可取

\(\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6},{x_7},{x_8},{x_9},{x_{10}}} \right) = (1, – 1,1, – 1,1, – 1,1, – 1,1, – 1)\)