克拉瑪公式(1)：克拉瑪生平及著作介紹（Cramer’s Rule, Part 1: Cramer’s Life and Writings）

Posted on 2013/10/05 in 數學, 數學史 with 沒有迴響 15,759 views

克拉瑪公式(1)：克拉瑪生平及著作介紹（Cramer’s Rule, Part 1: Cramer’s Life and Writings）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹克拉瑪公式及克拉瑪的生平、著作。

現在的克拉瑪公式

在求一次聯立方程組之解時，最常提及的解公式就是「克拉瑪公式」。以二元一次聯立方程組與三元一次聯立方程組為例：

\((1)\) 給定 \(x\)、\(y\) 的一次聯立方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} {a_{ 1}}x + {b_{ 1}}y = {c_{ 1}}\\ {a_{ 2}}x + {b_{ 2}}y = {c_{ 2}} \end{array} \right.\)

令 \(\Delta = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}\\ {{b_{ 2}}} \end{array} } \right|\)，\({\Delta _{ x}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{c_{ 1}}}\\ {{c_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}\\ {{b_{ 2}}} \end{array} } \right|\)，\({\Delta _{ y}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{c_{ 1}}}\\ {{c_{ 2}}} \end{array} } \right|\)。

則當 \(\Delta \ne 0\) 時，\(\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}\)，\(\displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta}\)

\((2)\) 給定 \(x\)、\(y\)、\(z\) 的一次聯立方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} {a_{ 1}}x + {b_{ 1}}y + {c_{ 1}}z = {d_{ 1}}\\ {a_{ 2}}x + {b_{ 2}}y + {c_{ 2}}z = {d_{ 2}}\\ {a_{ 3}}x + {b_{ 3}}y + {c_{ 3}}z = {d_{ 3}} \end{array} \right.\)，

令 \(\Delta = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}&{{b_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}}&{{b_{ 2}}}&{{c_{ 2}}}\\ {{a_{ 3}}}&{{b_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right|\)，\({\Delta _{ x}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{d_{ 1}}}&{{b_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{d_{ 2}}}&{{b_{ 2}}}&{{c_{ 2}}}\\ {{d_{ 3}}}&{{b_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right|\)，

\({\Delta _{ y}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}&{{d_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}}&{{d_{ 2}}}&{{c_{ 2}}}\\ {{a_{ 3}}}&{{d_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right|\)，\({\Delta _{ z}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}&{{b_{ 1}}}&{{d_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}}&{{b_{ 2}}}&{{d_{ 2}}}\\ {{a_{ 3}}}&{{b_{ 3}}}&{{d_{ 3}}} \end{array} } \right|\)。

則當 \(\Delta\ne 0\) 時，\(\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}\)，\(\displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta}\)，\(\displaystyle z=\frac{\Delta_z}{\Delta}\)。

在上述的聯立方程組中，當 \(\Delta \ne 0\) 時，\(\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}\)，\(\displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta}\)，\(\displaystyle z=\frac{\Delta_z}{\Delta}\) 就是今日所稱的「克拉瑪公式」。對於「克拉瑪公式」的推導過程，以及方程組之解的進一步討論（唯一解、無解、無限多解），請參見本網站洪誌陽老師所寫之〈線性方程組的討論〉，在此不再贅述。

用行列式來表徵「克拉瑪公式」，的確是十分簡潔、漂亮。然而，在克拉瑪的時代，數學家尚未發展出行列式的概念或符號，也就是說，克拉瑪在當時是用不同的方式來呈現今日所稱的「克拉瑪公式」，雖然沒有像今日的公式這麼精煉，卻別有一番風味。以下先介紹克拉瑪的生平、著作，在帶大家欣賞克拉瑪的「克拉瑪公式」。

克拉瑪的生平及著作

克拉瑪 (Gabriel Cramer) 1704年出生於日內瓦，1752年到法國養病時逝世。克拉瑪的父親是日內瓦的醫學教授，他另外兩個兄弟也都很傑出，一個成為醫學教授，另一個則是法學教授。

克拉瑪在18歲時就以一篇聲學的論文獲得博士學位。兩年後，他向日內瓦克萊文學院 (Académie de Clavin) 爭取哲學的教職。由於競爭者都十分優秀，所以克萊文學院就將教職分成哲學與數學兩個，由20歲的克拉瑪與21歲的卡蘭德利尼 (Giovanni Ludovico Calandrini)共享數學教職（薪水當然也是共享的），克拉瑪教授幾何學與力學，卡蘭德利尼教授代數學與天文學。

這份教職最特別之處是，克萊文學院要求這兩位年輕人都必須花兩到三年的時間到外地去拜訪其他學者，以增廣見聞，開拓人際關係。而當一個人外出時，薪水與授課就全交予另一人。乍看之下，這半薪、甚至是二到三年無薪的教職並不是份好的工作，但事實證明，克萊文學院的眼光獨到，知道這二到三年的時間，將對克拉瑪產生深遠的影響。

克拉瑪在獲得教職的第四年，履行他對克萊文學院的承諾，到歐洲各地旅行兩年。這期間，克拉瑪不僅見到了許多數學家，如約翰‧伯努利 (Johann Bernoulli)、歐拉 (Euler)、哈雷 (Halley)、棣美弗 (de Moivre)、史特林 (Stirling)等人，更得到這些數學家的友誼與認同，這對他往後的學術生涯有很大的幫助與影響。

比如說，約翰‧伯努利生前堅持只有克拉瑪才能夠編輯並出版他的《全集》(Complete Works)，在克拉瑪的付出下，這四冊於1742年出版。不止如此，約翰‧伯努利還託克拉瑪編輯他已逝的哥哥雅克布‧伯努利 (Jacob Bernoulli)的《全集》(Works)共兩冊，並於1744年出版。伯努利兄弟是當時歐洲頂尖的數學家，能受到約翰‧伯努利的信任，代表克拉瑪在數學能力與地位上，都不同於一般的數學家。由此也就不難得知，何以克拉瑪後來能成為英國皇家學會、柏林科學院、法國、義大利等多個學會的成員了。

克拉瑪在1750年出版的《代數曲線的分析導論》一書，主要在探討曲線，特別是求通過平面上若干點的曲線，例如求過平面上5個已知點的二次曲線。在這本書的附錄一中，出現了今日所謂的「克拉瑪公式」，這留待下一篇再介紹。

連結：克拉瑪公式(2)：克拉瑪的公式

參考資料：