保守力和非保守力

保守力和非保守力
高雄市中正高工物理科代理教師、現任聯華電子工程師 蘇益弘

本文將循序漸進，從國中、高中、大學的角度說明保守力和非保守力，重點以紅字與粗體先行標示，緊接著的後文則進一步說明。以下是本文大綱：

1. 通俗的說法,以國中的角度來看保守力和非保守力
2. 嚴謹的說法,以高中來說,我們要知道的保守力和非保守力的定義
3. 數學的說法,以大學來說,你會以數學(微積分)的角度重新了解保守力

國中角度來看保守力和非保守力

1. 保守力：作功可以轉換成位能儲存，
   非保守力:沒有位能的概念，自然也談不上位能的儲存。
2. 物體只受保守力，力學能守恆。物體受到非保守力，力學能通常會損耗。

先講第一點。我自己在國中理解的位能是這樣的，速度很快被撞超級痛，這代表物體有能量(動能)。但有時候物體明明是靜止的，但當它被釋放(例如:石頭從高處落下、彈簧被鬆開)，它的速度也可以很快。這代表有種能量(位能)是被存在靜止的物體的，物體抬得越高能量被存進去更多(重力位能)、彈簧被壓得越緊能量被存越多(彈力位能)。而高處落下或彈簧鬆開，存起來的能量就會被釋放出來，變成速度(位能轉成動能)。所以，保守力指的是對物體作功後可以轉換成位能儲存的力。

前一段講的，物體越高能量越高(重力位能 \(U=mgh\))，隱含了重力是保守力這個概念。彈簧越緊能量越高(彈力位能 \(U=\frac{1}{2}kx^2\))，彈簧力也是保守力。

而相反的，如摩擦力就無法討論對應的位能，因為這個力做了功之後化成熱能，結果我們無法把此能量取回來、重新做功。因此，摩擦力非保守力。你平常在推東西的力，也不是透過體內儲存的某種位能之改變而造成，所以它也是非保守力。下面整理高中常見保守力的實例：

                              保守力：重力、彈簧力、靜電力
                              非保守力：摩擦力、阻力(空氣.水)、推力、拉力

再來看第二點。國中時候的你一定有學過力學能守恆。先釐清它跟能量守恆有什麼不一樣？讓我們複習下，力學能=動能(K)+位能(U)。所以它指的是單純力學運動中會碰到的能量，我們不考慮電能.熱能.化學能…等，那是能量守恆要去想的事。

所以力學能要守恆，代表動能+位能要固定，代表受力過程中動能位能要能互相轉換。代表受力做功要能儲存成位能，也就是受到的力是保守力。舉個例，像重力。想像小球從高處落下時，高度越低(位能下降)、速度越快(動能上升)，這是位能轉動能，力學能守恆。或者往天空用力丟小球，高度越高(位能上升)、速度越慢(動能下降)，這是動能轉位能，力學能同樣守恆。

而如果受的是非保守力，那只會損耗力學能而不會守恆。像摩擦力，一個小球在地面滾動，速度越變越慢，但高度不變，只會有熱散失到空氣中(動能轉熱能)。

下面我們看個你一定很熟悉的題目：有一個靜止小球 10kg 在 10m 高的台階上，當受到重力順著斜坡(光滑無摩擦)滑下來，到達地面時速率多少？(圖一)

\(K_{\text{初}}+U_{\text{初}}=K_{\text{末}}+U_{\text{末}}\)
\(K_{\text{初}}=0\) (靜止)
\(U_{\text{初}}=mgh=10\times 9.8\times 10=980\)
\(K_{\text{末}}=\frac{1}{2}mV^2=\frac{1}{2}\times 10\times V^2=5V^2\)
\(U_{\text{末}}=0~~(h=0)\)
代入第一式
\(0+980=5V^2+0\)
\(V=14~(m/s)\)

簡單吧，是不是很熟悉的用 \(K_{\text{初}}+U_{\text{初}}=K_{\text{末}}+U_{\text{末}}\)，然後答案解出，輕鬆得分。這裡用的觀念就是力學能守恆，但它有兩個前提，受到重力跟光滑無摩擦。力學能守恆的前提就是：你受到的力要是保守力才會力學能守恆，如果是非保守力則否。所以整個過程只受重力(保守力)，而沒有非保守力(摩擦力)，所以可以用力學能守恆。

如果題目說斜坡是粗糙有摩擦，則非保守力(摩擦力)會造成力學能損耗，就不能用 \(K_{\text{初}}+U_{\text{初}}=K_{\text{末}}+U_{\text{末}}\) 去算，必須另外計算摩擦力做功造成多少損耗。下面補充箱子受力圖，與各力的作功。

到這邊再重新歸納一次。保守力：有位能，力學能守恆，重力，彈簧力都是。非保守力：沒有位能，力學能通常會損耗，推力、摩擦力、阻力都是。這些是比較通俗的講法，下面我們講講較嚴謹的定義。

高中須知道保守力的定義

1. 一個力對物體作功，經過一段路徑，從 A 點到 B 點。如果作功大小與經過路徑無關的是保守力，有關的是非保守力。
2. 一個物體從 A 點出發，經任一路徑又回到原點 A，我們稱此為封閉路徑。如果力對物體作功，經任一封閉路徑後，總作功恆為 0，則此力為保守力。
   

上面這兩點在數學上是等價的，講的是同一個定義，我們在這邊節省篇幅，著重在講解第一點。

圖三

什麼叫作功與路徑無關？請看圖三，物體從 A 點到 B 點有三個路徑 1、2、3，如果對物體施力走這三條的做功都相同，代表作功與路徑無關，這種力就是保守力。反之則為非保守力。

下面讓我們分別以重力(保守力)、摩擦力(非保守力)做例子，用簡單的題目和數字來算算看，什麼叫與路徑無關。

重力(保守力)：

題目：今天有一個箱子重量 \(mg\)，小明把它抬高 \(d\) 公尺。小華無聊又白目，所以他抬高箱子 \(d\) 公尺後又把它放到地上，再抬一次。請問這兩種過程中，重力對箱子的作功各是多少？

解答：

小明的重力作功：
經路徑1做負功 \(W_1=-mg\times d\)
總作功 \(W_{\text{明}}=W_1=-mgd\)

小華的重力作功：
經路徑1做負功 \(W_1=-mg\times d\)
經路徑2做正功 \(W_2=mg\times d\)
經路徑3做負功 \(W_3=-mg\times d\)
總作功 \(W_{\text{華}}=W_1+W_2+W_3=-mgd\)

先講一點，在這裡箱子往上抬的過程(位移 1、3)，因為重力往下位移往上，方向相反，所以作的是負功 (\(W_1\)、\(W_3\))。

那注意到裡面的運算嗎？雖然小華比小明多抬了一下，但因為重力一直是向下的，所以箱子被放下時重力作正功 \(W_2\)，抬起時作負功 \(W_3\)，放下和抬起的作功剛好抵銷。即使小華今天想勤練肌肉，把箱子抬上抬下 N 次，總重力作功 (\(W_{\text{華}}\)) 一樣是 \(-mgd\)，箱子本身的高度就只會上升 \(d\)，不會有更多位能。只要箱子是從 A 點移到 B 點，不管過程中箱子被抬多少下，重力作功都相同，與過程路徑無關，所以重力是一種保守力。

摩擦力(非保守力)：

題目：同樣的明、華二人組。今天小明把開學裝書的箱子從樓梯口推到 A 教室門口(與樓梯口相距 \(d\) 公尺)。情竇初開的小明，偏偏要把箱子推到隔壁教室 B (與教室 A 相距 \(d\) 公尺)，看一眼最愛的阿花，再把箱子推回 A 教室門口。請問這兩種過程中，摩擦力 \((f_k)\) 對箱子的作功各是多少？

小明的摩擦力作功：
經路徑1做負功 \(W_1=-f_k\times d\)
總作功 \(W_{\text{明}}=W_1=-f_kd\)

小華的摩擦力作功：
經路徑1做負功 \(W_1=-f_k\times d\)
經路徑2做負功 \(W_2=-f_k\times d\)
經路徑3做負功 \(W_3=-f_k\times d\)
總作功 \(W_{\text{華}}=W_1+W_2+W_3=-3f_kd\)

同樣提醒一點，在這裡摩擦力和位移都是反方向，不管位移 1、2、3，摩擦力都作負功 \(W_1\)、\(W_2\)、\(W_3\)。

從運算裡可以看到，因為摩擦力一直作負功，所以小華推去 B 教室又推回 A 教室的途中 \((W_2+W_3)\)，摩擦力作的功不會像重力一樣抵銷，而是產生更多的負功。小華只要夠無聊，他每多推一次摩擦力就會多作 \(-2f_kd\)，這部分能量會轉變成熱能散失在周遭。

結論：同樣是箱子從樓梯口到教室 A，但只要繞的路徑越長，摩擦力作功就越多。摩擦力做功與過程路徑有關，所以摩擦力是非保守力。

那在最後，我們把定義換個說法來複習一下。保守力做功大小只和移動的初位置和末位置(位移)有關與移動路徑無關，而非保守力做功大小則要考慮物體走的是哪條移動路徑。

到這邊我們已經了解高中保守力需要知道的東西了，但我們只要上網路一查，常會查到一些不熟悉的數學符號，這部分是在大學學會微積分後，我們就可以用數學(微積分)去把保守力作定義。下面我們不談數學，只簡單講講這些數學在表示什麼物理意義。

數學上保守力 \((F)\) 的定義

1. \(F\) 的旋度是 0：\(\triangledown \times F = 0\)
2. 物體受力做功，經一封閉路徑後，總做功為 \(0\)：\(W=\oint_{\mathbb{C}} F\cdot \mathrm{d}r=0\)
3. \(F\) 是某個(位能)的梯度：\(F=-\triangledown \Phi\)

第一點，\(F\) 的旋度是 \(0\)，旋度這東西很特別，它指的意思就是這個物理量 \((F)\) 他會圍繞著一個點旋轉(通俗的說法)。舉個熟悉的例子，我們國中有學安培右手定則：一個通電流的導線，它周遭會有同心圓旋轉的磁場。所以對於這根導線來說，磁場是圍繞著它旋轉，這個磁場就有旋度(相對於導線)。如果世界上有一種力的分佈就像上述磁場一樣，則此力就不可能是保守力，因為沿圓周繞一圈回到原點後，此力會做淨功。這與前面提到的定義 \(2\)，封閉路徑作功為 \(0\) 不符。做因此，保守力的條件就是旋度為零。

第二點，這應該很熟悉吧。沒錯，它就是高中我們學到的定義 \(2\)，只是用數學形式表示。

第三點，這其實剛剛也提到，它是國中說法裡面的第一點，只要是保守力就會有對應的位能，\(\Phi\) 代表的就是位能。這個式子只是換句話說，你一定找得到一個位能 \(\Phi\)，他的梯度能對應到保守力 \((F)\)。特別提一下這裡的負號，我們高中會學到重力位能差的定義：重力位能差等於負的重力做功。這邊的負號代表的就是位能差定義裡提到的負的。

以下補充解釋下梯度，梯度是描述物理量 \((\Phi)\) 的陡峭(變化)程度。這個式子說的是，今天你有一個位能 \(\Phi\) (假設是重力位能)，那位能的梯度基本上就是物體所受到的力(亦即，算重力位能的梯度就可得到重力)。

倒過來想更好理解，今天你抬物體上升一固定高度 \(h\)，那物體的重力位能一定是變大了。既然高處的位能 \(\Phi_{\text{高處}}\) 大於低處的位能 \(\Phi_{\text{低處}}\)，\(\Phi\) 顯然是有一個梯度 \(=\Phi_{\text{高處}}-\Phi_{\text{低處}}\)。由於 \(\Phi_{\text{高處}}-\Phi_{\text{低處}}\) 就等於你以力量 \(F\) (恰等於重力)去抬高物體所做的功 \(F\cdot h\)，因此的 \(\Phi\) 梯度就是 \(F\)。

參考資料：

1. Wiki：http://zh.wikipedia.org/wiki/保守力
2. 互動百科：http://www.baike.com/wiki/保守力