必歐-沙伐定律

必歐-沙伐定律 (Biot-Savart law)
國立臺灣大學物理系林司牧

丹麥物理學家奧斯特（Hans Christian Oersted 1777 –1851）於1820年首先發現，載有電流導線附近之磁針會偏離南北的方向。同年，法國物理學者必歐(Jean-Baptiste Biot 1774 –1862)與沙伐(Félix Savart 1791–1841)共同以實驗確立了通有電流的長直導線周遭磁場的性質。數天後，法國數學家拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace 1749 –1827)便提出一個理論，指出必歐-沙伐的實驗結果可以看成是由於導線上每一小段的電流在遠處產生了一個與距離平方成反比的磁場所致。而很快地，必歐便以精巧的實驗更進一步確立、並拓展了建立了拉普拉斯的說法。後世則習慣上把此綜合成果稱為必歐-沙伐定律。在靜磁學裏，必歐-沙伐定律 (Biot-Savart Law)方程式用以描述電流在其周圍所產生的磁場，且由公式可看出磁場與電流的大小、方向、以及距離有關。

必歐-沙伐定律主要用來計算穩定電流產生的磁場。 (穩定電流指的是連續而穩定流動的電荷，例如流過導線、其電流量為一常數、且電荷不在任意位置累積或消失的電流)：

以微分方程式表示(單位採SI制)：$$\mathrm{d}\vec{B}=\displaystyle\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{i\mathrm{d}\vec{s}\times\vec{r}}{r^3}$$

其中 $$B$$ 是磁場，向量 $$r$$ 是從路徑元素到場的位置向量，$$r$$ 為此向量的大小，$$\mu_0$$ 是真空磁導率，$$i$$ 是電流，$$\mathrm{d}s$$ 是電流的微小路徑元素。

這方程式所指出的是，「電流上的微小路徑元素」，如下圖的藍色區塊，在 $$P$$ 點所產生的磁場。

圖一$$~~~$$(作者提供)

當然，在一般的場合中，因為電流都是經由導線來傳送，因此電流不可能只存在於空間中的一點處，此時若要求出總電流在某一點 $$P$$ 所造成的磁場，我們可以對方程式作積分，以算出各微小路徑元素 $$\mathrm{d}\vec{s}$$ 所造成的總效應（參見圖二）：

$$\displaystyle\vec{B}=\int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{i\mathrm{d}\vec{s}\times\vec{r}}{r^3}$$

圖二$$~~~$$陳義裕繪

在某些特殊的情形下，我們可以很容易求出積分的值。以一無限長的直導線為例，我們可以算出任一點 $$P$$ 的磁場：

$$\displaystyle B=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}$$

其中 $$a$$ 為長直導線與測量點之距離，而 $$B$$ 的方向可以右手定則決定：若大拇指指向電流方向，則其餘手指即是磁場以圓形環繞電流的方向。而在此 $$r$$ 指的是與導線的垂直距離（如圖三所示）。

圖三$$~~~$$陳義裕繪

須注意的是：當電流緩慢地隨時間改變時（例如當載流導線緩慢地移動時），可以採用靜磁近似，此時必歐-沙伐定律也能成立。但若電流變化太快，則磁場隨時間以及空間的改變方式通常會比必歐-沙伐定律所描述的複雜許多，此定律這時候就不適用了。

參考資料

1. https://sites.google.com/site/nctucsforphysics/intro
2. http://spe.sysu.edu.cn/course/course/14/build/lesson6-2.htm