杯中茶葉何去何從？

杯中茶葉何去何從？
國立臺灣大學物理學系陳義裕教授

這篇短文想要討論的是一個很易發現的現象：以一根湯匙去攪拌一杯泡有一點茶葉的茶水，則最後杯中的茶葉都會集中、聚集在杯底中央。為什麼？

一、以實驗室靜止觀察者的觀點看問題

當你用一根湯匙去攪拌一杯水後，杯子中的水會整體轉動起來。如果當初攪拌的時候很使勁，杯子中的水轉動得特別快，我們還會發現水面中心明顯凹陷了下去，而靠近邊緣的水位則比較高，整個水面看起來就像是一個碟形天線的形狀(如圖一所示)。不用懷疑，此時水面與碟形天線的形狀真的是同一個模樣，我們將之稱為拋物面。

圖一 水在杯子中轉動，其水面呈下凹狀，與碟形天線的形狀同一個模樣，稱為拋物面。(為了展示效果，此圖故意將表面凹陷的情況誇大) (作者提供)

為什麼轉動中水的表面會呈中心凹陷的拋物面狀？這就要從水要如何去維持轉動的狀態說起。我們知道物體若要做等速圓周運動，則便需要一個向心力，杯子中的一個小水塊既然是在繞著杯子的中心軸轉動，自然也需要有向心力，而此向心力的來源，是由小水塊沿著徑向上的內外兩側之水壓大小不等來提供(如圖二所示)。

圖二 轉動中的小水塊沿著徑向上的內外兩側之水壓大小不等，這提供了小水塊做等速圓周運動所需要的向心力。(作者提供)

可是水壓在徑向上怎麼會出現內低外高的現象呢？原來水面之所以會呈現拋物面狀的祕密就在這裡了：我們在水中某個位置處之所以會感受到水壓，其實是因為它上方所有的水之重量累積疊加後壓了下來所致，因此只要其正上方之水面越高，則水壓就越大。從圖二我們可以看出，有了拋物面狀的水面，則在同一個高度處沿著徑向往外走出去時，其正上方水的深度一定是越來越大，所以水壓的分布一定是越往外就越大。

雖然杯中的水整體轉動得很一致(幾乎就像是一個圓柱體在繞著其中心軸旋轉一般)，但是接近杯底的水就沒辦法轉那麼快了，原因是日常生活中所接觸到的流體都有一個很有趣的特性：和固體接觸的流體很喜歡附著、緊貼著固體表面；它會賴在那裏不想流走。由於杯子是靜止不動的，杯底當然就沒有在轉動，所以接近杯底的水就處於一種很尷尬的場面：一方面在它正上方有一大團轉動得非常快的水想要帶著它一起轉動，但另一方面它又因為貼著杯底，事實上是不太能夠動的，所以做個妥協，接近底部的水就只好慢慢地轉，如圖三動畫所示。

圖三 接近杯子底部的水轉動比較慢 (作者提供)

接下來好玩的事才要上場。接近底部的水根本不可能如圖三所示那樣慢慢地轉動！回想一下：之前不是說過，做等速圓周運動的小水塊需要一個向心力來維持其轉動嗎？既然接近底部的水轉得不是很快，它當然不需要很大的向心力。可是抬頭看看上方的水面，其所造成的沿著徑向上的內外壓力差可是很大的 (因為這麼大的壓力差才有辦法提供給上方轉得很快的水足夠的向心力) ！接近底部的小水塊會覺得：自己轉動時明明只需要小小的向心力便足矣，但此刻內外兩側的壓力差卻過大，這就造成力量的不平衡，所以唯一能做的事就是遵守牛頓的運動定律(F=ma)，讓自己往中心的方向加速過去！因此，接近底部的水一方面會繞著杯子的中心軸慢慢轉動，一方面還會往軸心的方向集中流過去，如圖四動畫所示。

圖四 接近杯子底部的水不但轉動比較慢，而且還會往中心軸的方向流過去 (作者提供)

現在我們終於可以回答本文所想解釋的現象了。由於泡水的茶葉比較重、會沉到杯底，而杯底的水在往中心軸流過去的時候會帶動茶葉，所以如果我們把圖四動畫中的紅色小球視為杯子中的茶葉，則用一根湯匙去攪拌茶水後會發現茶葉最後都往杯底的中心處集中就很容易理解了。

雖然我們已經回答了原始的提問，但以上的敘述還不夠完整，因為底部的水不會只是一邊慢轉、一邊往軸心集中而已。為什麼？

我們知道水基本上是不可以壓縮的，所以當底部的水往中心軸流過去時，湧進中心處的水一定要有宣洩的管道。這些水沒有別的地方可以去，只好沿著中心軸的上方被頂上去(如圖五動畫所示)。我們把接近底部的水這種一邊轉、一邊往中心流過去，然後還沿著中心軸被往上頂的現象稱為二次流或副流(secondary flow)。二次流無法一路衝到頂，到了中間某個高度處就後勁無力、只好沿著徑向往外散開，然後再沉到底部、回流至杯底。顯然地，這整個過程開始複雜起來，當然也就無法在一盞茶的時間中說明白、講清楚了，所以我們對它的敘述就此打住。

圖五 接近杯子底部的水會一邊轉、一邊往中心流過去，然後還沿著中心軸被往上頂，從而形成所謂的二次流 (作者提供)

此外，你可能也注意到了，既然杯壁是靜止不動的，所以雖然大部分的水轉得很快，但因為接近杯壁的水只想貼附在杯壁上，自然就無法跟得上大部分水的腳步。靠近杯壁的這個慢速水層接著會藉由黏滯力而逐漸拖累杯子中央其他的水，使大家的轉動都變慢、直至完全停止為止。杯子中的水最後之所以不再轉動，便是這個緣故。

二、同樣的問題、但換不同的視角去看它

如果我們轉換觀點，改從旋轉中的水之座標系來看這個問題，其實也是很有意思的。在這個座標系中，接近表面的大部分水是不動的，但整個杯子卻是以反方向瘋狂地旋轉著，如圖六所示。

圖六 改從旋轉中的水之座標系來看原問題，則接近表面的大部分水是不動的，但整個杯子卻是以反方向瘋狂地旋轉著。(作者提供)

由於水面呈現外高內低的現象，則如前所述，這些不動的水在徑向上當然會受到內外不均的壓力差之作用。可是這些水為什麼受到這個力量卻仍然都不動？原來是：在轉動座標系中，即使是不動的物體都隨時會受到一個離心力的作用。對這個座標系的觀察者來說，內外不均的壓力差剛好是用來和離心力相抗衡的，所以大部分的水就這樣處於兩力相平衡的狀態，因此不動。

但接近杯底的水之命運就不同了。這些水因為貼著往反方向轉得很快的杯底，所以它就處於兩難的狀態：既無法和上方壓下來的水層一樣不動如泰山，卻也無法盡情地隨杯底一起轉啊轉、大跳圓舞曲。於是它採取了折衷的辦法─慢速轉動(參見圖六)。

現在問題就來了，在轉動座標系中的一個物體除了隨時會受到離心力的作用外，如果它有一個運動速度，則還會多受到一個稱為科氏力(Coriolis force)的作用。科氏力與物體的運動速度以及轉動座標系本身旋轉的角速度都成正比，而其方向則是沿著所指的方向。

對照圖六，我們很容易看出：接近杯底的小水塊所受到的科氏力是沿著徑向、並指向軸心。於是，對轉動座標系中的觀察者來說，接近杯底的小水塊會因為科氏力的作用而往中心流過去(參見圖七的動畫)。

圖七 對轉動座標系中的觀察者來說，接近杯底的小水塊會因為科氏力的作用而往中心流過去 (作者提供)

如此這般，轉動座標系中的觀察者就有自己的一套詮釋(即科氏力的作用)，去解釋接近杯底的小水塊為什麼會往中心流過去；而就如同前一節所言，慣性座標系的人也有自己的另一套詮釋(內外壓力差比所需要的向心力大)，去說明相同的現象。

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感謝陳義裕老師特地撰寫此文。