行列式的濫觴：萊布尼茲 (2)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (2)）

行列式的濫觴：萊布尼茲 (2)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (2)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (1)）

在〈行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)〉中，介紹了萊布尼茲透過所創立的數字符號，寫出三個二元一次方程式有共同解的條件，也就是相當於今日行列式的展開式。可惜的是，萊布尼茲與羅必達的通信，直到1850年才公開。在此之前，其他數學家並不知道萊布尼茲在這方面的成就。事實上，萊布尼茲是有意要隱瞞他的發現的，根據1863年公布的史料看來，萊布尼茲可能早在1678年就已經寫出這些結論，但一直把它當作祕密保守著。無怪乎，他會在信中向羅必達表示從未向其他人透露過這個巨大的發現。

利用係數來討論方程式的解，萊布尼茲並非第一人。事實上，無論是韋達還是笛卡兒，都有這方面的成果。不過，萊布尼茲獨特之處在於利用兩個足標來表示係數，這對以後無論是行列式或是矩陣理論的一般化提供了有利的工具。雖然他與羅必達的通信在1850年才公開，但他在1700-1710年間出版的兩份文件中，就已展現這種符號的使用。萊布尼茲之所以創立新的符號，除了是他個人的志趣外，更在於他想要利用符號來展現係數間隱含的關係，而這其實就是行列式理論的粗胚。除了雙足標外，萊布尼茲在1684年研究聯立方程組的手稿中，還創立了新符號 \(\overline {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \) 用以表示今日行列式 \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{10}}}&{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{20}}}&{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{30}}}&{{a_{31}}}&{{a_{31}}}&{{a_{32}}}\\ {{a_{40}}}&{{a_{41}}}&{{a_{42}}}&{{a_{43}}} \end{array}} \right|\) 的展開式。事實上，萊布尼茲已寫出相當於今日的「克拉瑪公式 (Cramer’s Rule)」，只是生前一直未公諸於世，直至19世紀才為後人所知。

簡言之，雖然萊布尼茲創立了新的符號並朝向行列式理論邁了重要的一步，但這些成果只有極少數人才知道，也就是說，他對後來的行列式理論發展，並沒有直接的影響力。行列式理論是由後來另外一群數學家勞心勠力的成果，這我們以後再作介紹。儘管如此，萊布尼茲在高中數學教學中，還是有用處的。在高中數學課程中，二階行列式、三階行列式都是分別關於二維、三維空間的，或是分別關於二元、三元一次聯立方程組的，只有兩個例外。

其中一個是給定平面不共線三點 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)、\(C(x_3,y_3)\)，

則 \(\Delta ABC\) 的面積為 \(\frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\) 的絕對值。

二維 \(xy\) 平面上 \(\Delta ABC\) 面積卻要用三階行列式來表示，其實頗為「做作」，

而事實上這個公式原本就是來自於二階行列式 \(\frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2} – {x_1}}&{{y_2} – {y_1}}\\ {{x_3} – {x_1}}&{{y_3} – {y_1}} \end{array}} \right|\) 的絕對值。

因此，不少師生都不把這個三階行列式當作一回事（事實上計算也沒有比較簡單）。

可是，另外一個就教人無法忽視了，就是：

若三直線 \(a_1x+b_1y+c_1=0\)、\(a_2x+b_2y+c_2=0\)、\(a_3x+b_3y+c_3=0\) 

交於一點，則 \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| = 0\)。

由此，有些人會將這個性質當作是高中數學課程中，三階行列式與平面有關的唯一性質。這個性質，不就是萊布尼茲在1693年寫給羅必達信中的結果嗎？高中數學課程中一個「特例」，竟然與一門理論的濫觴有關，這種巧合，還真的是少見！

雖有這種巧合，現今高中教室中呈現的，終究還是比三百多年前的通信多，除了呈現了幾何意義之外，更會強調其逆敘述並不會成立，也就滿足 \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| = 0\) 的三直線並不一定會共點，簡單的反例就是三直線 \(x+y+1=0\)、\(x+y+2=0\)、\(x+y+3=0\)

滿足 \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&1&2\\ 1&1&3 \end{array}} \right| = 0\)，但這是三條平行的直線，並不會有共同的交點！

參考文獻：

• Smith, David Eugene (1956). A Source Book in Mathematics, New York: Dover Publications
• 楊浩菊 (2004). 《行列式理論歷史研究》，西北大學博士論文。