二項式定理的推廣（四）: 和算家的數學表（下）

二項式定理的推廣（四）：和算家的數學表（下）
（The generalization of Binomial theorem（IV）：the mathematical table of wasan mathematicians）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上） 

在〈二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上）〉一文中，提到江戶時期日本數學家（和算家）利用數學表的方式，推廣了二項式定理，以求得了 $$(1-x)^{-k}$$ 展開式之各項係數表。另一方面，在〈二項式定理的推廣（二）〉一文裡，也提到他們利用開方法（綜合除法，亦即中國傳入的賈憲－霍納法）求得了展開式：

$${(1 + x)^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…$$

有了上述展開式之後，即可以透過造表、觀察關係與規律的方式造出

$${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$、$${(1 + x)^{ – \frac{3}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{ – \frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$以及 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{7}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{\frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$之展開式。

利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{1}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$，利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$等。

若以表一為例，有了 $$(1+x)^\frac{1}{2}$$ 的展開式係數後，可寫成表的第一列：

表一 $$(1+x)^{\frac{1}{2}}$$ 的展開式之係數表

接著，因為 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{1}{2}}} = (1 + x)(1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…)$$

其展開式之常數項為 $$1$$，

一次項為 $$(x\cdot 1+1\cdot \frac{1}{2}x)$$，其係數為 $$1+\frac{1}{2}$$ ，即第一列前二行之和。

二次項為 $$x\cdot\frac{1}{2}x+1\cdot(-\frac{1}{8}x^2)$$ ，其係數為 $$\frac{1}{2}-\frac{1}{8}$$ ，即第一列第二行與第三行之和。

三次項為 $$x \cdot ( – \frac{1}{8}{x^2}) + 1 \cdot \frac{3}{{48}}{x^3}$$，其係數為 $$- \frac{1}{8} + \frac{3}{{48}}$$，即第一列第三行與第四行之和。

以此類推，$${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$ 的 $$x^k$$ 項係數為第一列第  $$k$$ 行與第 $$k+1$$ 行之和。

如此可依序求出 $$(1+x)^{\frac{3}{2}}$$ 展開式之各項係數。造出該表的第二列。

有了 $$(1+x)^{\frac{3}{2}}$$ 的展開式之各項係數後，又因為 $$(1+x)^{\frac{5}{2}}=(1+x)(1+x)^{\frac{3}{2}}$$ 便可再依第二列再造出該表第三列，接著，利用第三列再造出該表第四列。

換句話說，利用表的 $$a_{i,j}+a_{i+1,j+1}$$ 可造出 $$a_{i+1,j+1}$$ 元，有了表的第 $$k$$ 列，便可造出第 $$k+1$$ 列，如此便可造出有關 $$(1+x)^{\frac{2k-1}{2}}$$ 之展開式係數表。

至於 $$(1+x)^{-\frac{2k-1}{2}}$$ 類的展開式呢？原理相同，不過這裡需要用到兩個展開式：

$${(1 + x)^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…$$

以及 $${(1 – x)^{ – 1}} = 1 + x + {x^2} + {x^3} + {x^4} + ….$$

利用 $${(1 + x)^{ – 1}}{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$，利用 $${(1 + x)^{ – 1}}{(1 + x)^{-\frac{1}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{ – \frac{3}{2}}}$$。

以此類推，可依序求得 $${(1 + x)^{ – \frac{{2k – 1}}{2}}}$$ 之展開式。

首先，$${(1 + x)^{ – 1}}{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}\\= (1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…)(1 + x + {x^2} + {x^3} + {x^4} + ….)$$

其展開式之常數項為 $$1$$，

一次項為 $$(1 \cdot x + \frac{1}{2}x \cdot 1)$$，其係數為 $$1+\frac{1}{2}$$，即第一列前二行之和。

二次項為 $$(1 \cdot {x^2} + \frac{1}{2}x \cdot x + ( – \frac{1}{8}{x^2}) \cdot 1)$$，其係數為 $$1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{8}$$，即第一列前三行之和。

三次項為 $$(1 \cdot {x^3} + \frac{1}{2}x \cdot {x^2} + ( – \frac{1}{8}{x^2}) \cdot x + \frac{3}{{48}}{x^3} \cdot 1)$$，其係數為 $$1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{8} + \frac{3}{{48}}$$，即第一列前四行之和。

以此類推，可知 $${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$ 的 $$x^k$$ 項係數為第一列前 $$k+1$$ 行之和，

如此可依序求出 $$(1+x)^{-\frac{1}{2}}$$ 展開式之各項係數，進而造出該表的第二列。

有了 $${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$ 的展開式之各項係數後，又因為 $${(1 + x)^{ – \frac{3}{2}}} = {(1 + x)^{ – 1}}{(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$ 便可再依第二列造出該表第三列，接著，利用第三列再造出該表第四列。

換句話說，利用表的 $$\sum\limits_{l = 1}^{j + 1} {{a_{i,l}}}$$ 可造出 $${a_{i + 1,j + 1}}$$ 元，有了表的第 $$k$$ 列，便可造出第 $$k+1$$ 列，

如此便可造出有關 $${(1 + x)^{ – \frac{{2k – 1}}{2}}}$$ 之展開式係數表。

以上便是江戶時期日本數學家推廣得二項式定理的方法。當然，受限於符號，他們並無法寫出所有二項展開式的一般式，不同類的冪次必需先適當分類，再利用不同的表來呈現與記載。而除了記錄知識的功能外，這些表也作為和算家重要的解題與認知工具。在沒有微積分以及解析幾何的情況下，他們廣泛地使用這些表，包含前述各類二項展開式係數表，處理了許多幾何形體的求長、求面積、求表面積、求體積問題，以及求兩立體相交部份之表面積與體積問題。即使面對一般微積分也難以處理的求橢圓周長問題，他們也是透過類似的方式，輔以各類表的使用，加以解決，獲得了正確的展開式：

$$L = a\pi \left( {1 – \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e – \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{8}{e^2} – \frac{{15}}{{48}} \cdot \frac{3}{{48}}{e^3} – \frac{{105}}{{384}} \cdot \frac{{15}}{{384}}{e^4} -\cdots } \right)$$

其中 $$e = 1 – \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}$$，而 $$a$$ 為橢圓的長軸之半，而 $$b$$ 為橢圓的短軸之半。