集合的元素個數：無窮集合（一） The cardinality of a set: Infinite sets I

集合的元素個數：無窮集合（一） The cardinality of a set: Infinite sets I
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

連結：集合的元素個數：有限與無限

無窮集合元素個數相等的定義如下：

若兩個集合（無窮集合）之間存在一一對應關係，則這兩個集合的元素個數相等。

我們可藉此發現許多違反直覺的例子。首先，就直觀上來看，正整數的個數比正偶數的個數來得多，而正整數的個數也比完全平方數來得多，不過，我們依上述定義實際作對應與比較後，會發現：

\(\begin{array}{lllllll} 1&2&3&4&5&\cdots&n\\\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&&\updownarrow\\2&4&6&8&10&\cdots&2n\end{array}\)

換言之，正整數的個數與正偶數的個數一樣多。類似地，我們也會發現：

\(\begin{array}{lllllll} 1&2&3&4&5&\cdots&n\\\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&&\updownarrow\\1^2&2^2&3^2&4^2&5^2&\cdots&n^2\end{array}\)

因此，正整數的個數與平方數的個數一樣多。這是不是既違反直覺又不可思議呢？

而上述自然數與其真子集之間存在一一對應關係的這個性質，正是無窮集合最重要的特色。於是乎數學家用這個性質來定義無窮集合：

集合 \(S\) 為無窮集合，若且唯若存在一個真子集 \(A\)，使其元素之間可一一對應，即個數相等，
亦即 \(n(S)=n(A)\)。

換言之，前述所有自然數構成的集合，存在一個真子集（無論是正偶數構成的集合或平方數所構成的集合），使其元素個數相等，因此自然數構成的集合的確為一個無窮集合。這樣的特性與有限集合大不相同。歐里基得的《幾何原本》中，提到了「全體大於部份」這個共有概念（common notion），或稱公理。然而，這個公理僅在有限世界裡成立，上述談到的正整數、偶數與平方數等無窮集合之間，便不滿足於此公理。因此，「全體的數量可等於部份」的這個定義，正是劃分了有限集合與無窮集合之間的最大差異。

接著，我們繼續比較正整數與整數的元素個數。同樣地，直覺上，整數包含了正整數、零與負整數，想必其個數比正整數多吧！然而，我們可以在所有的整數與正整數之間，造出一一對應的關係：

\(\begin{array}{cccccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&\cdots&2n&2n+1\\\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&\updownarrow&&\updownarrow&\updownarrow\\0&1&-1&2&-2&3&-3&\cdots&n&-n\end{array}\)

因此，所有整數所構成的集合，其元素個數還是與正整數一樣多。一般而言，我們也可以造一個從自然數送到整數，且滿足一一對應的函數：

如此，亦可看出兩個集合的元素個數一樣多。

數學上，一般我們會把元素個數和自然數一樣多的集合，稱為可數集（countable set），也就是說，一個集合，其元素可與自然數作一一對應，那麼該集合便為可數集。為了方便之後的討論，我們介紹一個定理：

定理：每個可數集的無窮子集皆可數。

證明：

令 \(S\) 為一可數集，而 \(E\) 為其無窮子集，即 \(E\subset S\)。因為 \(S\) 可數，於是我們將集合 \(S\) 裡面的不同元素作排序，形成數列 \((s_n)\)，接著，我們以如下方法建構一個新的數列 \((n_k)\)：

令 \(n_1\) 是滿足 \(s_{n_1}\in E\) 的最小正整數，

\(n_k\) 是滿足 \(s_{n_k}\in E\)，且大於 \(n_{k-1}\) 的最小正整數，其中 \(k=2,3,4\cdots\)

令 \(a_k=s_{n_k}\)，\(k=1,2,3,\cdots\)，如此，我們可對集合 \(E\) 的元素作排序，並獲得了正整數 \(k\) 與 \(n_k\) 之間的一一對應關係。於是，證明了此定理。

換句話說，上述過程即是從數列 \((s_n)\) 的第一項開始檢查，第 \(1\) 個出現在子集 \(E\) 的元素令為 \(a_1\)；第 \(2\) 個出現在子集 \(E\) 的元素令為 \(a_2\)；以此類推，可將集合裡的元素排序，使其元素與自然數之間存在一一對應的關係。因此，我們知每個可數集的無窮子集皆可數。

接下來，回到原先的問題，那所有有理數所構成的集合呢？由於每個自然數皆可表示成有理數，例如 \(2=\frac{2}{1}\)、\(3=\frac{3}{1}=\frac{6}{2}\) 等等。但我們可以找到許許多多不是自然數的有理數，因此直觀上來看，有理數的數量應當比自然數來得多。不過，很快地你將會發現，無窮集合的世界是如此地不可思議，令人無法置信。以下我們採取所謂的「對角線」法來作點數：

圖一 以對角線法數有理數

圖一所示的對角線法，相當於從分子分母和為 \(2\) 的有理數開始數，順序則依分子由小排到大，接著，是分子分母和為 \(3\) 的有理數，同樣依分子由小排到大，再接著，是分子分母和為 \(4\) 的有理數，以此類推。如此我們可以將有理數作排序：

\(\displaystyle\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{1},\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1}\cdots\)

我們把上述這些數字所構成的集合稱為 \(S\)，由此排序可知，此集合為可數集。眼尖的讀者會發現，\(\frac{1}{1}\) 與 \(\frac{2}{2}\) 與 \(\frac{3}{3}\) 等有理數皆為 \(1\)，因此，我們把重複的數字刪去後，可得一個 \(S\) 的無窮子集，它便是所有的有理數所形成的集合。又因為每個可數集的無窮子集亦為可數集，因此，有理數可與自然數一一對應，亦即有理數的個數與自然數一樣多。

討論至此，讀者也許會懷疑，難道所有的無窮集合之間，都存在一一對應的關係？換言之，所有無窮集合的元素個數皆相等嗎？事實並非如此，當我們將討論的對象，擴展到所有的實數時，即會發現，一切別有洞天，敬待下回分曉。

連結：集合的元素個數：無窮集合（二）