集合的元素個數：無窮集合（二） The cardinality of a set: Infinite sets II

集合的元素個數：無窮集合（二） The cardinality of a set: Infinite sets II
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

連結：集合的元素個數：無窮集合（一） 

前文〈集合的元素個數：無窮集合（一）〉之中，我們討論了自然數、整數與有理數的個數，這些集合皆為可數集。而可數無限為基數最小的無限，我們一般將此基數命作 \({\aleph _0}\)（aleph與下標零，此符號可讀作阿列夫零）。

數學家康托爾提出了，構造出基數更大集合的方法：以一集合所有子集合為元素的新集合，其基數比原集合大。譬如說吧！令 \(S = \{ 1,2,3\}\)，則所構造出的新集合為：\(\{ \{ 1,2,3\} ,\{ 1,2,3\} ,\{ 1,2\} ,\{ 1,3\} ,\{ 2,3\} ,\{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} ,\emptyset\}\)，它共包含了 \(8\) 個元素，而 \(8\)恰為 \(2^3\)。不難看出，原集合的元素個數為 \(n\)，則新集合的元素個數為 \(2^n\)。因此，我們可構造出一個基數為 \(2^{\aleph _0}\) 的新集合，如此可不斷地構造出更大的集合。
而我們把 \({\aleph _0}\)、\(2^{\aleph _0}\) 等涉及無窮集合的基數稱為超限基數（transfinite cardinal number）。

那實數呢？問題似乎變難了，不像整數或有理數易於排序，我們很難有系統地將實數重新排序，使其與自然數一一對應，換言之，實數的個數問題，顯得更難以掌握。所以，我們不禁懷疑，實數的個數與自然數一樣多嗎？ 

數學家康托爾提出了一個證明方法，證明有限線段上的實數集為不可數。
以下筆者作一簡單改寫。首先，假設實數集 \(\mathbb{R}\) 是可數的，那麼其無窮子集亦同。因此，我們需考慮以下集合 \(R = \{ r|0 < r < 1,r \in \mathbb{R}\}\)，它亦當可數。我們可將這個集合裡的所有元素，與自然數一一對應，並依序排列：

 \({r_1},{r_2},{r_3},{r_4},{r_5},…,{r_n},…\)

同時，當中的所有實數，皆可表示成 \(10\) 進位表示法中的小數。
接著，我們以如下方式構造一個屬於集合 \(R\) 當中的實數 \(r\)。
令 \(r = 0.{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}…\) 滿足：

小數點後第 \(1\) 位 \(a_1\) 與 \(r_1\)不同；
小數點後第 \(2\) 位 \(a_2\) 與 \(r_2\)不同；
\(\cdots\)
小數點後第 \(k\) 位 \(a_k\) 與 \(r_k\)不同；以此類推，\(\cdots\)

如此一來，實數 \(r = 0.{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}…\) 與集合 \(R\) 當中的所有元素 \({r_1},{r_2},{r_3},{r_4},{r_5},…,{r_n},…\) 皆不相等，但又知 \(0 < r = 0.{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}… < 1\)，的確落在集合 \(R\) 之中，因此，得到了矛盾。產生矛盾的原因，是因為我們假設了實數是可數的，而這就證明了實數是不可數的集合。

可數無限的基數為 \({\aleph _0}\)，而實數在無窮世界的「級別」，顯然比「可數無限」來得大。換言之，不可數無限在無限的量級上，比可數無限來得大。康托爾以符號c來表示不可數無窮的超限基數。接著，康托爾提出下述問題：是否存在超限基數於 \({\aleph _0}\) 與 \(c\) 之間的無窮呢？他的猜測是沒有，他認為 \(c={\aleph _1}=2^{\aleph _0}\)，即不可數無限是下一個層級的無限，此亦即所謂的「連續統假設」 (continuum hypothesis)。後來，數學家希爾伯特（David Hilbert,1862-1943）也將此問題納入他於1900年，在巴黎的國際數學家大會演說中，所提出的二十三個重要問題裡。

事實上，有理數集 \(\mathbb{Q}\) 與實數集 \(\mathbb{R}\) 之間，當存在另一類代數數 \(\mathbb{A}\)，滿足 \(\mathbb{Q}\subset\mathbb{A}\subset\mathbb{R}\)。
代數數 (algebraic number) 的定義如下：

若 \(a\) 為一個整係數多項方程式 \({a_n}{x^n} + {a_{n – 1}}{x^{n – 1}} +\cdots+ {a_1}x + {a_0} = 0\) 的實根，
則 \(a\) 稱為代數數。

反之，不是代數數的實數稱為超越數 (transcendental number)。例如，大家所熟知的 \(\pi\) 即為超越數。易知，所有的有理數皆為代數數（因有理數 \(\frac{p}{q}\) 為 \(qx-p=0\) 的實根）。而無理數當中的 \(\sqrt{2}\) 為方程式 \(x^2=2\) 的實根、\(\sqrt[3]{5}\) 為方程式 \(x^3=5\) 的實根，而 \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) 則為方程式 \(x^2-x+1=0\) 的實根，因此它們皆為代數數。不難看出，代數數集夾在可數集 \(\mathbb{Q}\) 與不可數集 \(\mathbb{R}\) 之間。那麼，它究竟可數？抑或不可數？還是代表了可數集與不可數集之外的其它超限基數呢？事實上，我們可以證明代數數所構成的集合，同樣為可數集。請參考〈集合的元素個數：無窮集合（四）〉。

連結：集合的元素個數：無窮集合（三）