等差數列 (Arithmetic Progression)

等差數列 (Arithmetic Progression)
國立蘭陽女中陳敏晧教師

一連串有次序的數，稱為數列(sequence)。其中的數，稱為項(term)；第一個項，稱為首項，以 \(a_1\) 表示；第 \(n\) 個項以 \(a_n\)表示。若數列中每一個後項減去前項的值固定時，則稱此數列為等差數列(Arithmetic Progression，簡寫為AP)，我們將此固定差值稱為公差(common difference)，以 \(d\) 表示。

因為 \(a_2-a_1=d\)，所以 \(a_2=a_1+d\)。又 \(a_3-a_2=d\)，所以 \(a_3=a_2+d=a_1+2d\)。我們很容易推得 \(a_n=a_1+(n-1)d,~n\in \mathbb{N}\)。進一步可得 \({a_n} = {a_m} + (n – m)d\)，其中 \(n,m\in \mathbb{N}\)。

例1：若 \(<a_n>\) 為等差數列，\(a_1=-3\) 且 \(d=2\)，求 \(a_{10}=?\)

解答：\(a_{10}=a_1+(10-1)d=-3+9\times 2=15\)

例2：若 \(<a_n>\) 為等差數列，\(a_{15}=7\) 且 \(d=-4\)，求 \(a_{99}=?\)

解答：\({a_{99}} = {a_{15}} + (99 – 15)d = 7 + 84 \times ( – 4) = 7 – 336 =-329\)

特別地，當三數 \(a,b,c\) 成等差數列時，其中的 \(b\) 稱為等差中項(Arithmetic Mean，簡寫為AM)。根據公差的定義，可得 \(b-a=c-b\)，即 \(b=\frac{a+c}{2}\)。

接著介紹一個數學遊戲－拈(Nim)，此遊戲源自於將十二枚硬幣分三列排成「三、四、五」的遊戲，如下圖：

第一列：\(\otimes~~~\otimes~~~\otimes\)
第二列：\(\otimes~~~\otimes~~~\otimes~~~\otimes\)
第三列：\(\otimes~~~\otimes~~~\otimes~~~\otimes~~~\otimes\)

遊戲規則是兩人輪流取硬幣，每人每次在某一列取一枚或取一枚以上的硬幣，但不能同時在兩列中取硬幣，直到最後將硬幣取完的人，贏得此遊戲。也可以規定：最後將硬幣取完的人為輸。

現在將拈這個遊戲設計成跟等差數列有關。例如：袋中有 \(12\) 個硬幣，甲乙兩人輪流取硬幣，每人每次可取一枚、二枚、三枚或取四枚硬幣，若由甲先取硬幣，最後將硬幣取完的人，贏得此遊戲。請問甲是否有致勝策略？

解法：

因為 \(1+4=5\)，所以 \(12-5-5=2\)。因此甲的致勝策略為先取 \(2\) 個硬幣。接著若乙取 \(1\) 個，則甲取 \(4\) 個；若乙取 \(2\) 個，則甲取 \(3\) 個；若乙取 \(3\) 個，則甲取 \(2\) 個；若乙取 \(4\) 個，則甲取 \(1\) 個，以此類推，甲最後必能將硬幣取完，贏得此遊戲，其過程中也形成公差為 \(5\) 的等差數列 \(10,5,0\)。

進一步思考，若袋中有 \(48\) 個硬幣，甲乙兩人輪流取硬幣，每人每次可取一枚、二枚、三枚或取四枚硬幣，若由甲先取硬幣，最後將硬幣取完的人，贏得此遊戲。則甲致勝策略為先取 \(48-9(1+4)=3\) 個，則等差數列為 \(45, 40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5, 0\)。

等差數列結合矩陣會是很棒的數學競試問題。如下題共有十個不同公差的等差數列，解法必須考慮等差數列第 \(n\) 項公式，及簡單的分點公式，還有等差中項的思考，因此能夠順利解出問題的學生必有很清楚的數學思維，讀者何妨試試看！

若有一個 \(5\times 5\) 階的矩陣 \(A = {[{a_{ij}}]_{5 \times 5}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{a_{14}}}&{{a_{15}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{a_{24}}}&{{a_{25}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{34}}}&{{a_{35}}}\\ {{a_{41}}}&{{a_{42}}}&{{a_{43}}}&{{a_{44}}}&{{a_{45}}}\\ {{a_{51}}}&{{a_{52}}}&{{a_{53}}}&{{a_{54}}}&{{a_{55}}} \end{array}}\right]\)，

其中 \(a_{22}=74\)，\(a_{35}=166\)，\(a_{43}=103\)，\(a_{51}=0\)，矩陣內各行與各列都成等差數列(直的為行，橫的為列)，則下列何者正確 ﹖

(1) \({a_{ij}} \ge 0\) , \(1\le i,j\le 5\)

(2) \(a_{52}=53\)

(3) \(a_{14}=120\)

(4) \(\sum\limits_{i = 1}^5{{a_{i1}} = 170}\)

(5)  \({a_{11}},{a_{22}},{a_{33}}\) 成等差數列

解法：

因為 \({a_{51}},{a_{52}},{a_{53}},{a_{54}},{a_{55}}\) 成等差數列，且 \(a_{51}=0\)，所以可令 \({a_{52}} = d,{a_{55}} = 4d\)。

又 \({a_{22}},{a_{32}},{a_{42}},{a_{52}}\) 成等差數列，所以 \({a_{42}} = \frac{{1\cdot{a_{22}} + 2\cdot{a_{52}}}}{3} = \frac{{74 + 2d}}{3}\)。

又因為 \({a_{35}},{a_{45}},{a_{55}}\) 成等差數列，知 \(a_{45}\) 為 \(a_{35},a_{55}\) 的等差中項，

得 \({a_{45}} = \frac{{{a_{35}} + {a_{55}}}}{2} = \frac{{166 + 4d}}{2} = 83 + 2d\)。

再根據 \({a_{42}},{a_{43}},{a_{44}},{a_{45}}\) 成等差數列，

得 \({a_{43}} = \frac{{2\cdot {a_{42}} + 1\cdot {a_{45}}}}{3} = \frac{{2\left( {\frac{{74 + 2d}}{3}} \right) + (83 + 2d)}}{3}\)；

將 \(a_{43}=103\) 代入，即 \(103 = \frac{{{\textstyle{{148} \over 3}} + {\textstyle{{4d} \over 3}} + 83 + 2d}}{3}\)，故得 \(d=53\)。

代入得矩陣  \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{r}} {68}&{81}&{94}&{107}&{120}\\ {51}&{74}&{97}&{120}&{143}\\ {34}&{67}&{100}&{133}&{166}\\ {17}&{60}&{103}&{146}&{189}\\ 0&{53}&{106}&{159}&{212} \end{array}} \right]\)。因此本題的正確選項為 \((1)(2)(4)\)。

參考文獻：

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression.
2. 張鎮華，〈拈及其各種變型遊戲〉，《數學傳播》，3卷2期。