從二項式定理到多項式定理 (1)

從二項式定理到多項式定理 (1)（From Binomial Theorem to Multinomial Theorem (1)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

國中時學到乘法公式 \({(x + y)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\)，\({(x + y)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\)，就在猜想 \({(x + y)^4},{(x + y)^5},\cdots,{(x + y)^n}\) 展開後的模樣。透過比對可看出 \((x+y)^n\) 的各項都是齊次，也就是說，展開的各項 \(x^ay^b\) 都會滿足 \(a+b=n\)。

因此，只要能掌握各項係數的規則，任意的自然數 \(n\)，我們便能將 \((x+y)^n\) 的各項依 \(x\) 或 \(y\) 的升冪或降冪排出。國中老師採用的方法是將巴斯卡三角形畫出(圖一)，一一對應，只要足夠耐心，就能達到任意的自然數 \(n\)。

圖一\(~~~\)巴斯卡三角形

這個關於 \((x+y)^n\) 展開式每項係數的規則，就是初等代數中重要的二項式定理（Binomial Theorem）。事實上，透過排列組合的相關知識，就能推論出 \((x+y)^n\) 展開式各項的係數規則。這也為何高中數學將二項式定理當成排列組合的一個應用。
首先，從 \((x+y)^3\) 的展開過程觀察起。由於

\(\begin{array}{ll}{\left( {x + y} \right)^3} &= \left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) \\&= xxx + xxy + xyx + yxx + xyy + yxy + yyx + yyy \\&= {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\end{array}\)

換言之，\((x+y)^3\) 是 \((x+y)\) 連乘三次，即 \((x+y)(x+y)(x+y)\)。展開得到的各項相當於在每一個括號中，各選一個 \(x\) 或 \(y\) 作乘積而得。由於乘法可以交換，進一步能整理成 \(x^3,x^2y^1,x^1y^2,y^3\) 四種類型的項，而同類項的個數就是每項的係數。

也就是說，從這三個括號中，個別選取 \(x\) 或 \(y\) 來作乘積，其方法數就是每個對應項的係數。舉例來說，如圖二所示，\(x^2y^1\) 是三個括號中，\(2\) 個選 \(x\)，\(1\) 個選 \(y\)，它的方法有 \(C^3_1=3\) 種，故項係數可以組合數 \(C_1^3\) 表示。

圖二\(~~~(x+y)^3\)集項示意圖

因此，我們可依選取 \(y\) 的個數之規律，寫出 \((x+y)^3\) 的展開式 (請注意式中紅字的對應關係)

仿此作法，我們能類推出 \((x+y)^n\) 的展開式，同樣請讀者注意式中紅字的對應關係：

因此，二項式定理為

對於任意正整數 \(n\)，我們有下列的二項展開式：

\(\begin{array}{ll}{\left( {x + y} \right)^n} &= C{\kern 1pt} _0^n{x^n} + C_1^n{x^{n – 1}}{y^1} +\cdots+ C{\kern 1pt} _r^n{x^{n – r}}{y^r} +\cdots+ C{\kern 1pt} _{n – 1}^n{x^1}{y^{n – 1}} + C{\kern 1pt} _n^n{y^n}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}\\&= \sum\limits_{r = 0}^n {C{\kern 1pt} _r^n{x^{n – r}}{y^r}}\end{array}\)

 其中，形如 \(C_r^nx^{n-r}y^r\) 被稱為展開式的一般項。

若將巴斯卡三角形重新用組合數寫上一遍(如圖三)，易知巴斯卡三角形的構造規則為 \(C_m^n = C_{m – 1}^{n – 1} + C_m^{n – 1}\)，\(1\le m\le n-1\)。這正是這個組合恆等式被稱為巴斯卡定理的原因。事實上，我們也能用數學歸納法和巴斯卡定理證明二項式定理，有興趣的讀者不妨嘗試看看。

圖三\(~~~\)巴斯卡三角形中各項與組合數的對應

有了二項式定理，對於處理高次展開幫助甚大，比方說，多項式函數 \(f(x)=(1+x)^{10}\) 的展開式

\(f(x) = {(1 + x)^{10}} = C_0^{10} + C_1^{10}x + C_2^{10}{x^2} +\cdots+ C_{10}^{10}{x^{10}}\)

也使得形如 \((1.01)^{10}\) 的估計，除了利用對數取值查表，又多了一種方法，由於

\(\begin{array}{ll}{(1.01)^{10}} &= f(0.01) \\&= C_0^{10} + C_1^{10}(0.01) + C_2^{10}{(0.01)^2} +\cdots+ C_{10}^{10}{(0.01)^{10}}\end{array}\)

取前四項即可求值準確到小數點以下第三位，

\(C_0^{10} + C_1^{10}(0.01) + C_2^{10}{(0.01)^2} + C_3^{10}{(0.01)^3} \\= 1 + 10 \times (0.01) + 45 \times {(0.01)^2} + 120 \times {(0.01)^3} \\= 1 + 0.1 + 0.0045 + 0.00012 = 1.10462 \approx 1.1046\)

不過，若是變數超過二項，該如何處理呢？例如，\((x+y+z)^3\) 的展開式，我們可以這麼做

\(\begin{array}{ll}{(x + y + z)^3} &= {[(x + y) + z]^3} \\&= C_0^3{(x + y)^3} + C_1^3{(x + y)^2}z + C_2^3(x + y){z^2} + C_3^3{z^3} \\&= C_0^3(C_0^3{x^3} + C_1^3{x^2}y + C_2^3x{y^2} + C_3^3{y^3}) + C_1^3(C_0^2{x^2} + C_1^2xy + C_2^2{y^2})z + C_2^3(x + y){z^2} + C_3^3{z^3} \\&= {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3{x^2}y + 3{x^2}z + 3x{y^2} + 3{y^2}z + 3x{z^2} + 3y{z^2} + 6xyz\end{array}\)

從過程來看，只要反覆運用二項式定理，還是能處理二項以上的展開式。但讓人好奇的是，是否有類似二項展開的定理呢？有的，答案是多項式定理(Multinomial Theorem)。更讓人興奮的是，推論它的方法也和本文所談的二項式定理相同。有興趣的讀者不妨嘗試看看，我們將在〈從二項式定理到多項式定理(2)〉中揭曉。

連結：從二項式定理到多項式定理(2)