條件句與對偶命題 (Conditional and contrapositive statements)

條件句與對偶命題 (Conditional and contrapositive statements)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

在數學上，有許多敘述句皆具有下列形式：\(P\) 蘊涵 \(Q\)

而它的意義即為：若 \(P\) 為真，則 \(Q\) 也必須為真 

此外，尚包含了其它與蘊涵相關的術語，例如：若 \(P\) 則 \(Q\) 、\(P\) 是 \(Q\) 的充分條件、\(P\) 唯若 \(Q\)、\(Q\) 若 \(P\) 以及 \(Q\) 是 \(P\) 的必要條件等，而這些術語的意義皆相同。例如，「若 \(n^2\) 為偶數，則 \(n\) 為偶數」、「若 \(x\) 與 \(y\) 皆為有理數，則 \(x+y\) 為有理數」以及「若 \(\Delta ABC\) 為直角三角形，則斜邊平方等於兩股之平方和」等，都是此類具蘊涵關係的敘述句。

一般而言，蘊涵關係包含了涉及真值（truth）的條件句與因果關係（causation）兩部份，我們以符號「\(P \Rightarrow Q\)」來表示 \(P\) 蘊涵 \(Q\) 的真值部份，並把具「\(P \Rightarrow Q\)」這種形式的句子，稱為條件表達式或簡稱為條件句。其中 \(P\) 的稱為前項或前件（antecedent）， \(Q\) 則稱為後項或後件（consequent）。

一個條件句的真值，可利用其前項與後項的真值來定義。換句話說，條件句 \(P \Rightarrow Q\) 是否為真，完全取決於 \(P\) 與 \(Q\) 的真假值。首先，若 \(P\) 與 \(Q\) 之間存在實值的蘊涵關係，那麼 \(P\) 蘊涵了 \(Q\)，因此，\(P\) 的真值蘊涵了 \(Q\) 的真值。所以，當 \(P\) 與 \(Q\) 皆為真時，\(P \Rightarrow Q\) 當然為真。

若 \(P\) 為真但 \(Q\) 為假呢？如果發生了雖然 \(P\) 為真但 \(Q\) 仍為假的情況，這意味著 \(P\) 並不蘊涵 \(Q\)，即意 ，換言之，\(P \Rightarrow Q\) 為假。因此，我們將  為真，定義成「\(P\) 為真但 \(Q\) 為假」。接著，又因為其否定敘述為 \(P \Rightarrow Q\)，因此，當  假時，條件句 \(P \Rightarrow Q\) 為真。

如此一來，我們只要檢查  的定義「\(P\) 為真但 \(Q\) 為假」便可知，只要滿足下列條件之一，那麼 \(P \Rightarrow Q\) 為真：

1. \(P\) 與 \(Q\) 皆為真
2. \(P\) 為假與 \(Q\) 為真
3. \(P\) 與 \(Q\) 皆為假

如此，可得表一中「\(P \Rightarrow Q\) 之邏輯真值表」。

表一\(~~~P \Rightarrow Q\) 之邏輯真值表 

在表二裡，我們造出 \(P \Rightarrow Q\) 與 \(\neg P \lor Q\) 之邏輯真值表，
從此表中，我們發現 \(P \Rightarrow Q\) 與 \(\neg P \lor Q\) 的邏輯真值表完全相同，
因此，\(P \Rightarrow Q\) 與 \(\neg P \lor Q\) 在邏輯上等價。 

表二\(~~~P \Rightarrow Q\) 與 \(\neg P \lor Q\) 之邏輯真值表

在表三裡，我們則造出  與 \(P\land \neg Q\) 之邏輯真值表，
從此表中，我們發現 與 \(P\land \neg Q\) 的邏輯真值表完全相同，
因此， 與 \(P\land \neg Q\) 在邏輯上等價

表三\(~~~\) 與 \(P\land \neg Q\) 之邏輯真值表

最後，我們把 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) 稱為 \(P \Rightarrow Q\) 的對偶命題。
從表四來看，我們發現 \(P \Rightarrow Q\) 與 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) 的邏輯真值表完全相同，
因此，\(P \Rightarrow Q\) 與 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) 在邏輯上等價。
一般而言，一個條件句會與其對偶命題在邏輯上等價。
因此，當我們需要證明諸如 \(P \Rightarrow Q\) 之蘊涵關係時，
可透過證明其對偶命題 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) 的方式。

表四\(~~~P\Rightarrow Q\) 與 \(\neg Q\Rightarrow \neg P\) 之邏輯真值表

我們舉一個高中課程裡常見的例子來說明對偶命題的等價性。
設 \(n\) 為正整數，當我們想要證明敘述句「若 \(n^2\) 為偶數，則 \(n\) 為偶數」時，發現並不好下手（讀者可自行思考、嘗試），因此，可轉而證明「若 \(n\) 不為偶數，則 \(n^2\) 不為偶數」。證明如下：

因為 \(n\) 為正整數且不為偶數，所以，\(n\) 為奇數，
故可設 \(n=2k-1\)，其中，\(k\) 為正整數。
則 \({n^2} = {(2k – 1)^2} = 4{k^2} + 4k + 1 = 2(2{k^2} + 2k) + 1\) 必為奇數，
故 \(n^2\) 不為偶數。
如此，證明了「若 \(n\) 不為偶數，則 \(n^2\) 不為偶數」為真，
亦相當於證明了「若 \(n^2\) 為偶數，則 \(n\) 為偶數」為真。

而上述證明方法是間接證法的一種，有時又被稱為反證法。
綜言之，利用 \(P\Rightarrow Q\) 與 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) 在邏輯上等價，因此，若證明了「\(\neg Q \Rightarrow \neg P\)」為真，則相當於證明了「\(P\Rightarrow Q\)」為真。

參考文獻：

• 齊斯．德福林（Keith Devlin）著（洪萬生、黃俊瑋等譯），《這個問題，你用數學方式想過嗎？》。