西方行列式的發展：范德蒙的研究（The Development of Determinants in West: Vandermonde’s Work）

西方行列式的發展：范德蒙的研究
（The Development of Determinants in West: Vandermonde’s Work）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：西方行列式的發展：范德蒙的生平(2)

范德蒙1772年提交法國科學院的論文〈關於消去法的報告〉(Mémoire sur l’Élimination)是數學家首度將行列式運算作為研究主題的論文。范德蒙一開始就對他的符號給出了定義 （見圖一）：

\(\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}} = \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ b \end{array}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ a \end{array}\)

\(\left. {\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}} = \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,a\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ c \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,b\,}}\)

\(\begin{array}{ll} \left. {\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\left. {\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,d\,}} &= \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,d\,}}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,d\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,a\,}}\; \\&+\;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ c \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,d\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,b\,}}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ d \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,c\,}}\\ \;\;\;\; \vdots \\ \;\;\;\; \vdots \end{array}\)

圖一

我們現在習慣將足碼左右並列寫在下標，范德蒙則是直接將足碼上下表示，

所以，\(\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\) 要解讀成今日行列式的第 \(\alpha\) 列第 \(a\) 行之元。

因此，我們可以將范德蒙的符號 \(\frac{{\left. {\alpha \;} \right|\;\beta }}{{\left. {a\;} \right|\;b}}\) 視為只寫出主對角線之元的行列式 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_{\alpha a}}}&{}\\ {}&{{t_{\beta b}}} \end{array}\,} \right|\)，

主對角線確立後，其餘各元的足碼也可以隨之確定了

（第一、二列的第一個足碼分別都是 \(\alpha\) 與 \(\beta\)，第一、二行的第二個足碼則分別都是 \(a\) 與 \(b\)），

即 \(\frac{{\left. {\alpha \;} \right|\;\beta }}{{\left. {a\;} \right|\;b}} = \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ b \end{array}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ a \end{array}\)

用今日的行列式符號來表示就是 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_{\alpha a}}}&{{t_{\alpha b}}}\\ {{t_{\beta a}}}&{{t_{\beta b}}} \end{array}\,} \right| = {t_{\alpha a}} \cdot {t_{\beta b}} – {t_{\alpha b}}{t_{\beta a}}\)。

在 \(\left. {\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}} = \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,a\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ c \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,b\,}}\) 的情形中，

若我們將 \(\alpha\) 與 \(a\) 代為 \(1\)，\(\beta\) 與 \(b\) 代為 \(2\)，\(\gamma\) 與 \(c\) 代為 \(3\)，

則 \(\left. {\left. {\frac{{\,1\,}}{{\,1\,}}} \right|\frac{{\,2\,}}{{\,2\,}}} \right|\frac{{\,3\,}}{{\,3\,}} = \begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,2\,}}{{\,2\,}}} \right|\frac{{\,3\,}}{{\,3\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2 \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}} \right|\frac{{\,3\,}}{{\,1\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,2\,}}{{\,1\,}}} \right|\frac{{\,3\,}}{{\,2\,}}\)

就是今日三階行列式依第一列降階展開的結果，

即 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_{11}}}&{{t_{12}}}&{{t_{13}}}\\ {{t_{21}}}&{{t_{22}}}&{{t_{23}}}\\ {{t_{31}}}&{{t_{32}}}&{{t_{33}}} \end{array}\,} \right| = {t_{11}}\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_{22}}}&{{t_{23}}}\\ {{t_{32}}}&{{t_{33}}} \end{array}\,} \right| + {t_{12}}\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_{23}}}&{{t_{21}}}\\ {{t_{33}}}&{{t_{31}}} \end{array}\,} \right| + {t_{13}}\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_{21}}}&{{t_{22}}}\\ {{t_{31}}}&{{t_{32}}} \end{array}\,} \right|\)

平心而論，范德蒙的符號確實是比今日的行列式符號簡潔，在降階展開的操作上，也十分便捷。

范德蒙展開的方法只有兩個簡單的步驟：

(1)  以三階為例，第一步是寫出 \(\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {} \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,2\,}}{{\,\,}}} \right|\frac{{\,3\,}}{{\,\,}}\)，然後下方依序填入 \(123\)、\(231\)、\(312\)，每次都將數字往前移動一位，而最左邊的數字則移到最右邊，直至重複為止。

(2)  決定每一項的運算符號，偶數階的展開是 \(+ – + – + -\cdots\)，奇數階則統統為 \(+\)。

讀者不妨分別用范德蒙的與今日的符號展開四階行列式，然後再比較兩者的優缺點。

有了符號與定義後，范德蒙開始推導相關的性質與公式。

比如說，「行列式中任兩行互換，其值差一個負號」：

又如「行列式中任兩行或任兩列相同，其值為0」：

范德蒙在推出需要的公式後，才將他的符號應用到方程組的求解，

寫出今日所謂的「克拉瑪公式」（見圖二、圖三）：

我們可以清楚地看到，范德蒙的公式和今日的公式只差在符號的不同，但就一般性或抽象化的程度來說，和今日的版本是一致的。雖然范德蒙只寫出二階與三階的克拉瑪公式，但其方法可以推廣，且更重要的是，可以簡潔地表示任意高階的克拉瑪公式，這比起前人來說（參閱本網站克拉瑪公式的相關文章），實在是一大進步。

范德蒙這篇論文共有17頁，到克拉瑪公式恰好佔了一半的篇幅。剩下的內容，范德蒙繼續推導相關的公式、提出不同的行列式展開式求法，並將研究的目標轉向高次方程組的求解。這剩下的部分，就留給有興趣的讀者自己研究了。

圖二

圖三

最後，請各位讀者再將目光回到圖三，筆者在〈西方行列式的發展：范德蒙的生平(2)〉一文中有提到，「范德蒙行列式」這名稱是個美麗的錯誤，而圖三，很可能就是這美麗錯誤的源頭。

若我們將圖三中方程組的係數寫成一個行列式，就會得到 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {_1^1}&{_2^1}&{_3^1}\\ {_1^2}&{_2^2}&{_3^2}\\ {_1^3}&{_2^3}&{_3^3} \end{array}\,} \right|\)，

勒貝格 (Henri Léon Lebesgue, 1875-1941)推測後人很可能就是將上面的足碼理解成指數，

得到 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} {{t_1}^1}&{{t_2}^1}&{{t_2}^1}\\ {{t_1}^2}&{{t_2}^2}&{{t_3}^2}\\ {{t_1}^3}&{{t_2}^3}&{{t_3}^3} \end{array}\,} \right| = {t_1} \cdot {t_2} \cdot {t_3} \cdot \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ {{t_1}}&{{t_2}}&{{t_3}}\\ {{t_1}^2}&{{t_2}^2}&{{t_3}^2} \end{array}\,} \right|\)，

如此一來，今日所稱的「范德蒙行列式」就現身了，即 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ {{t_1}}&{{t_2}}&{{t_3}}\\ {{t_1}^2}&{{t_2}^2}&{{t_3}^2} \end{array}\,} \right|\)。

連結：西方行列式的發展：柯西的研究

參考文獻：

• Vandermonde, Alexandre-Théophile (1772). “Mémoire sur l’Élimination”, http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?O=30000000035711
• Ycart, Bernard and Kuntzmann, Laboratoire Jean (2013). “A case of mathematical eponymy: the Vandermonde determinant”, Revue d’Histoire des Mathématiques, 9(1), pp.43-77.( http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/68/99/43/PDF/VD_BY.pdf)
• 楊浩菊 (2004). 《行列式理論歷史研究》，西北大學博士論文。