西方行列式的發展：柯西的研究 （The Development of Determinants in West: Cauchy’s Work）

西方行列式的發展：柯西的研究
（The Development of Determinants in West: Cauchy’s Work）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：西方行列式的發展：范德蒙的研究

雖然今日譯作「行列式」的詞 “determinantem”（即英文的“determinant”）是首次出現在高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) 於1801年出版的《算術研究》(Disquisitiones Arithmeticae) 中，但高斯是把它當作是字面意思來使用，即「決定的因素」，用以表示多元高次式的「判別式」，這和今日「行列式」的意義並不相同。

到了1812年，柯西 (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857) 在提交給法蘭西學院 (Institut de France) 的第二篇論文中（1815年出版），使用“déterminan”（即英文的“determinant”）來表示今日所稱的「行列式」，換言之，柯西才是使用「行列式」名詞的第一人。

在介紹柯西的行列式研究之前，我們必須先說明柯西在1812年之前的數學知識背景。首先，函數在19世紀是數學研究的熱門主題，柯西也是熱衷於各式函數的研究，他後來還對何謂函數下了定義，該定義已經十分接近今日函數的定義。其次，柯西十分熟悉范德蒙 (Alexandre-Theophile Vandermonde, 1735-1796)在行列式方面的研究（范德蒙並沒有使用行列式這名稱），在他1812年的論文中，多次提到了范德蒙的研究。然而，范德蒙的論文只是在呈現一種新的符號及其操作（參閱本網站〈西方行列式的發展：范德蒙的研究〉一文），並沒有函數的內涵。所以，柯西所做的，就是從函數的觀點來定義行列式。

從柯西1812年的論文中可知，他對「交錯對稱函數」 (alternating symmetric function) 很感興趣。所謂對稱函數 (symmetric function) 就是將不同變數做位置的交換後，其值不變。例如 \(f({a_{1}},{a_{2}},{a_{3}}) = ({a_{2}} + {a_{1}})({a_{3}} + {a_{1}})({a_{3}} + {a_{2}})\) 就是對稱函數，無論 \(a_1,a_2,a_3\) 如何置換，函數值不變。柯西所稱的「交錯對稱函數」則是置換變數後，函數值不變或是差個負號，例如 \(f({a_{1}},{a_{2}},{a_{3}}) = ({a_{2}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{2}})\)、\(f({a_{1}},{a_{2}},{a_{3}}) = {a_{1}}{a_{2}}{a_{3}}({a_{2}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{2}})\)就是柯西感興趣的「交錯對稱函數」。

柯西就是從交錯對稱函數的觀點出發來定義行列式，把行列式視為由一組數對所組成的函數。柯西的做法，在意義上與前人有很大的不同。舉范德蒙作對比，雖然范德蒙首先將行列式從方程組的係數中脫離出來，成為單獨研究的對象，但范德蒙最終的目的還是在於表示方程組的解（參閱本網站〈西方行列式的發展：范德蒙的研究〉一文）。

至於柯西，則是將行列式又往前推了一大步，把它獨立置於函數的領域之中，徹底切斷它和方程組相連的臍帶，奠定了行列式理論研究的基礎。雖然柯西定義的行列式本質上和今日的行列式相同，但他定義的方式頗為複雜，而且，老實說，還挺奇妙的！筆者在此僅以三階為例，說明柯西的定義方式。

首先，\(a_1,a_2,a_3\) 代表三個不同的數，定義函數 \(S( \pm {a_{1}}^1{a_{2}}^2{a_{3}}^3)\)：

\(S( \pm {a_{1}}^1{a_{2}}^2{a_{3}}^3) = {a_{1}}{a_{2}}{a_{3}}({a_{2}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{1}})({a_{3}} – {a_{2}})\)

若我們將等號的右邊乘開，整理可得：

\(\begin{array}{ll}S( \pm {a_{1}}^1{a_{2}}^2{a_{3}}^3) &= {a_{1}}{a_{2}}^2{a_{3}}^3 + {a_{2}}{a_{3}}^2{a_{1}}^3 + {a_{3}}{a_{1}}^2{a_{2}}^3 \\&- {a_{1}}{a_{3}}^2{a_{2}}^3 – {a_{3}}{a_{2}}^2{a_{1}}^3 – {a_{2}}{a_{1}}^2{a_{3}}^3\end{array}\)

接下來則是最神奇的一步了：

把每一個指數都改寫成第二個下標，即 \(a_i^j\) 改寫成 \(a_{i,j}\)，就會得到新函數

\(\begin{array}{ll}S( \pm {a_{1,1}}\,{a_{2,2}}\,{a_{3,3}}) &= {a_{1,1}}{a_{2,2}}{a_{3,3}} + {a_{2,1}}{a_{3,2}}{a_{1,3}} + {a_{3,1}}{a_{1,2}}{a_{2,3}}\\&-{a_{1,1}}{a_{3,2}}{a_{2,3}} – {a_{3,1}}{a_{2,2}}{a_{1,3}} – {a_{2,1}}{a_{1,2}}{a_{3,3}}\end{array}\)

柯西就將新函數 \(S( \pm {a_{1,1}}{a_{2,2}}{a_{3,3}})\) 稱做「行列式」(déterminan)，

並補充說明 \(a_{1,1},a_{1,2},\cdots,a_{3,3}\) 這 \(9\) 項可排列成 \(\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{\,1,1}}}&{{a_{\,1,2}}}&{{a_{\,1,3}}}\\ {{a_{\,2,1}}}&{{a_{\,2,2}}}&{{a_{\,2,3}}}\\ {{a_{\,3,1}}}&{{a_{\,3,2}}}&{{a_{\,3,3}}} \end{array}\)。

至此，讀者心中一定有一個大大的疑問：「這是在幹嘛？」

請暫時擱下心中的疑惑，讓我們將 \(\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{\,1,1}}}&{{a_{\,1,2}}}&{{a_{\,1,3}}}\\ {{a_{\,2,1}}}&{{a_{\,2,2}}}&{{a_{\,2,3}}}\\ {{a_{\,3,1}}}&{{a_{\,3,2}}}&{{a_{\,3,3}}} \end{array}\) 的兩側都加上一直線段，

然後取代函數符號 \(S( \pm {a_{1,1}}{a_{2,2}}{a_{3,3}})\)，就會得到：

\(\begin{array}{ll}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1,1}}}&{{a_{1,2}}}&{{a_{1,3}}}\\ {{a_{2,1}}}&{{a_{2,2}}}&{{a_{2,3}}}\\ {{a_{3,1}}}&{{a_{3,2}}}&{{a_{3,3}}} \end{array}} \right| &= {a_{1,1}}{a_{2,2}}{a_{3,3}} + {a_{2,1}}{a_{3,2}}{a_{1,3}} + {a_{3,1}}{a_{1,2}}{a_{2,3}} \\&- {a_{1,1}}{a_{3,2}}{a_{2,3}} – {a_{3,1}}{a_{2,2}}{a_{1,3}} – {a_{2,1}}{a_{1,2}}{a_{2,3}}\end{array}\)

這不就是今日的行列式嗎？為了證明筆者沒有在「唬弄」大家，圖一就是柯西論文的原貌，請各位看倌自行瞧瞧。

圖一

看完上圖後，讀者一定會好奇那 \(a_{1,1}\)、\(a_{1,2}\)、\(\cdots\)、\(a_{3,3}\) 與原來的 \(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\) 有何關係？答案是：沒有關係！\(a_{1,1}\)、\(a_{1,2}\)、\(\cdots\)、\(a_{3,3}\) 就是 \(9\) 個數，用今日的術語來說，柯西定義了一個 \(\underbrace {\Re\times\Re\times\cdots\times\Re}_{9\Re}\to \Re\) 的新函數。

筆者一開始很難接受柯西這樣子的定義方式，但後來想想，當我們在教室黑板上寫出行列式的定義時，學生應該就是「這是在幹嘛？」這種感覺吧！

最後，關於柯西的定義，筆者再補充說明幾點。其一是當行列式被看成函數時，接下來就可以考慮函數的運算性質，所以，柯西繼續在其論文中探討這新函數的運算性質，得到了今日所稱的「乘法定理」與「展開定理」，這兩者與今日高中數學並沒有直接關連，在此就不多作說明。其二，雖然柯西在定義行列式時並沒有考慮方程組的係數，但他仍不忘用他的新函數來呈現克拉瑪公式。其三，柯西創新之處在於將雙足碼並列寫在右下方，並將行列式排列成 \(n\times n\) 的方形，這兩者都被後人所繼承，直至今日。1841年凱萊 (Arthur Cayley, 1821-1895) 在 \(n\times n\) 的方形兩側加上直線段後，就成為今日行列式的符號了。

連結：西方行列式的發展：結語

參考文獻：

• Cauchy, Augustin-Louis (1815). “Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu’elles renferment”, http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_CAUCHY_2_1
• O’Connor, John and Robertson, Edmund (1996). “Matrices and determinants”, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants.html
• Ycart, Bernard and Kuntzmann, Laboratoire Jean (2013). “A case of mathematical eponymy: the Vandermonde determinant”, Revue d’Histoire des Mathématiques, 9(1), pp.43-77.( http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/68/99/43/PDF/VD_BY.pdf)
• 楊浩菊 (2004). 《行列式理論歷史研究》，西北大學博士論文。