貝葉斯和貝氏定理(1)（Thomas Bayes and Bayes’ Theorem (1)）

貝葉斯和貝氏定理(1)（Thomas Bayes and Bayes’ Theorem (1)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

貝氏定理(Bayes’ Theorem)在高中數學的機率單元中出現，被當成是條件機率的重要議題，為人所知的是它的定理內容：

設 \(\left\{ {{A_1},{A_2}, \cdots ,{A_n}} \right\}\) 為樣本空間 \(S\) 的一組分割，\(B\) 為 \(S\) 的任一個事件，
若 \(P(B)>0\)，則在事件 \(B\) 發生的情況下，事件 \(A_k\) 發生的機率為

\(\displaystyle P\left( {{A_k}|B} \right) = \frac{{P\left( {{A_k}} \right)P\left( {B\left| {{A_k}} \right.} \right)}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {P\left( {{A_i}} \right)P\left( {B\left| {{A_i}} \right.} \right)} }},1\le k\le n\)

以及課本提及的應用，如品管檢驗、醫學檢定等。但多數人不知道貝氏是誰？什麼問題促使他發展出貝氏定理？貝氏定理在現今統計學上有著廣泛的應用，但學說提出之初，就如此為數學家和統計學家所擁護嗎？這些問題都是本文撰寫的動機。首先，就由托馬斯．貝葉斯(Thomas Bayes, 1702-1761)的生平開始說起，貝氏定理正是由他所提出的。

托馬斯出身於英國新教徒家庭，是家中七個孩子的老大。他的父親約書亞．貝葉斯(Joshua Bayes)是英國最早被任命的六位新教牧師之一。對於貝葉斯的童年教育我們所知不多，有歷史學者認為他可能受過棣美弗(Abraham de Moivre, 1667-1754)的指導，也有人認為他接受過成為牧師的養成訓練。

1719年，貝葉斯進入蘇格蘭的愛丁堡大學，主要是學習邏輯和神學。在當時，新教徒是無法得到牛津大學或是劍橋大學的入學資格。儘管沒有任何他在愛丁堡學習數學的記錄，不過，他為了反駁貝克萊主教(George Berkeley, 1685-1753)在《分析學家》(The Analyst, 1734)對微積分邏輯基礎的攻擊，曾在1736年寫過一篇〈流數學說的介紹，以及對《分析學家》作者的反對提出數學家的防禦〉(An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a Defence of the Mathematicians Against the Objections of the Author of The Analyst)，文章一開頭便提到：

我早就認為流數法的基本原理和規則，需要更為全面且清楚的解釋和證明。

無疑表明著他對流數法的熟悉。不過，他卻反對貝克萊出於宗教因素的批評。很快地，貝葉斯也被任命為牧師，擔任他父親的助手。在1733年之前，更成為Tunbridge Wells(距離倫敦35英里)地方教堂的牧師。直到1752年，他才從這個位置退休，但仍繼續居住在Tunbridge Wells。

托馬斯．貝葉斯 圖片出處 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Bayes.html

儘管沒有任何數學的作品，1742年貝葉斯被選為英國皇家學會的院士。不過，這是當時的風氣：沒有人在生前用自己的名字義發表作品，上面提及1736年的數學作品是匿名出版。直到他死後，才出版有關 \(\log z!\)(由斯特林和棣美弗所給出)的漸近級數之斂散性的數學研究。

事實上，貝葉斯更值得注意的是他在機率論上的研究：〈《機率論》中一個問題的解決〉(An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances)，而《機率論》(The Doctrine of Chances, 1718)是棣美弗有關機率的數學著作。同樣地，在他死後，他的朋友理查德．普萊斯(Richard Price, 1723-1791)發現此篇論文，加以重新編輯註解，於1764年送交英國皇家學會的《自然科學會報》(The Philosophical Transactions of the Royal Society)出版。

在這篇論文中，有今日我們所熟知的條件機率之討論，以及被稱為貝氏定理的命題。至於貝葉斯基於什麼問題進行研究，以及他如何進行討論，在〈貝葉斯和貝氏定理(2)〉會有詳盡的說明。

連結：貝葉斯和貝氏定理(2)

參考文獻：

• Katz, V. J. (1993), A History of Mathematics, New York: HarperCollins College Publishers.
• Biography of Thomas Bayes, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bayes.html
• An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances. By the Late Rev. Mr. Bayes, F. R. S. Communicated by Mr. Price, in a Letter to John Canton, A. M. F. R. S. https://archive.org/stream/philtrans09948070/09948070#page/n0/mode/2up
• 陳昱成，〈貝氏定理的應用〉，《科學教育月刊》第357期(2013)，頁19-28。