自旋

自旋 (Spin)
國立臺灣大學物理學系99級 沈于晴

日常生活中會看到 $$\mathrm{spin}$$ 這個字應該是在使用洗衣機脫水功能的時候吧！從字面上看起來，「自旋」似乎有「自轉」的意思。最初提出自旋概念之時，就是把電子當成如同地球般在自轉的一顆球。不過很快的科學家們便發現這種模型並不好。

現在物理學家們知道自旋是粒子內在(intrinsic)的性質。不論這顆粒子在任何位置，或者你對它外加任何的電場、磁場，它的自旋仍舊保持不變，並不會像地球的自轉有機會變快或變慢。自旋還有一個性質：它是個量子化的物理量，我們用自旋量子數 $$s$$ 來表示。$$s$$ 的值只允許為 $$\frac{1}{2}$$ 的整數倍。例如：每顆電子的自旋量子數都是 $$\frac{1}{2}$$。

講了這麼多，好像還是不知道自旋到底是甚麼東西。自旋代表粒子的角動量，或者更精確的說：代表粒子角動量的一部分。就像地球的運動可以分成公轉和自轉。

在量子理論裡，粒子的角動量也分成軌道角動量與自旋角動量。用波動力學解釋氫原子光譜時，用了$$n$$、$$l$$、$$m$$ 三個量子數，$$l$$ 和 $$m$$ 代表的就是軌道角動量。軌道角動量會因為在不同的量子態而有不同，而自旋角動量正如前面所說，是不會變的。不過自旋是在量子力學中才有的概念，所以還是把地球自轉這種比喻給忘了吧。

遺憾的是，我們並無法像古典力學那樣同時測量到自旋角動量三個分量的值。這並不是因為我們的技術太差，而是大自然本身不讓我們測量。

這是由於測不準原理(uncertainty principle)。因為角動量是向量，要知道它的值，必須要同時知道 $$x$$、$$y$$、$$z$$ 三個分量。但因為測不準原理的關係，我們無法同時準確測量任何其中兩個分量。

幸好，我們還是能夠測量其中一個分量。習慣上，我們把 $$z$$ 方向定成我們想測量的方向。自旋角動量在 $$z$$ 方向的大小也是量子化的。若粒子的自旋量子數為 $$s$$，那麼 $$z$$ 方向的自旋角動量只會是 $$\hbar$$ 的 $$s$$、$$s-1$$、$$s-2$$、$$\cdots$$、$$-s$$ 倍，共有 $$2s+1$$ 種可能。$$\hbar$$ 是約化的蒲朗克常數(reduced Planck constant)，其值為 $$1.055\times 10^{-34}$$ 焦耳-秒，單位跟角動量一樣。

再次拿電子當作例子，電子的自旋量子數是 $$\frac{1}{2}$$，它在 $$z$$ 方向的自旋角動量可以是 $$\frac{1}{2}\hbar$$ 或是 $$-\frac{1}{2}\hbar$$。前者稱作上自旋(spin up)，後者則是下自旋(spin down)。

圖1. Stern-Gerlach實驗裝置圖。帶有上自旋以及下自旋的原子會被不均勻磁場分開(靠兩側的原子分離效果不彰，這是因為磁場的不均勻性在兩端較不明顯)。但根據量子理論，我們無法知道粒子運動的確切軌跡，所以這並不是好的示意圖。(陳義裕繪)

根據古典電磁學，帶電的物體旋轉時，會讓這個物體產生磁偶極矩。換句話說，可以把這個又帶電又旋轉當成一顆小磁鐵。在量子理論中，粒子的自旋也讓粒子帶有磁偶極矩。不過用古典理論與量子理論計算所得到的磁偶極矩不一樣，實驗結果則是與量子理論吻合。

自旋讓粒子帶有磁偶極矩，有了磁偶極矩便會受到磁場影響。這讓我們有辦法做實驗來觀察一些自旋造成的現象。1922年，Otto Stern 與 Walther Gerlach 做了個實驗，可以驗證自旋的 $$z$$ 方向分量是量子化，雖然那個時候物理學家們尚無自旋的概念(此實驗其實是要驗證舊量子論中的一個錯誤理論)。

圖2. 自旋 $$z$$ 分量為量子化的Stern-Gerlach實驗結果 (陳義裕繪)

他們讓一坨銀原子通過磁場後打在玻片上(磁場必須是不均勻的，這樣才能將帶有不同磁矩的原子有效分離開來)。把原子前進的方向定為 $$y$$ 方向，磁場的方向定為 $$z$$ 方向 (如圖1.，但這並不是個好的示意圖，因為根據量子理論，我們無法知道粒子運動的確切軌跡)。原子到達玻片時會在玻片上留下痕跡。實驗結果玻片上出現的痕跡是離散的(如圖2.)，表示自旋角動量的 $$z$$ 分量確實是量子化的。自旋量子數為 $$s$$ 的原子會產生 $$2s+1$$ 條線。若 $$z$$ 方向的角動量可以是任意值，那麼玻片上看到的痕跡應該要是均勻分布成一大片(如圖3.)。

圖3. 若自旋z分量不是量子化的Stern-Gerlach實驗結果 (陳義裕繪)

還有許多現象與自旋有關，例如天文學上的 $$21$$ 公分譜線就是由氫原子中的電子與原子核自旋造成。用在醫學上的核磁共振也是利用原子核的自旋。

參考文獻

1. Griffiths, D. J. (2004). Introduction to quantum mechanics(Chapter 8. WKB approximation), 2nd edition. Pearson Prentice Hall.
2. Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics. New York : Plenum Press.
3. Weimberg, S. (2013). Lectures on Quantum Mechanics. Cambridge ; New York : Cambridge University Press.
4. 葉偉文(譯) (民87)。愛麗絲漫遊量子奇境(原作者 Gilmore, R) 臺北市 : 天下遠見出版(原出版年：1995)
5. 維基百科, 自旋http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E6%97%8B
6. 維基百科, 斯特恩-革拉赫實驗 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AF%E7%89%B9%E6%81%A9-%E9%9D%A9%E6%8B%89%E8%B5%AB%E5%AF%A6%E9%A9%97
7. 維基百科, Spin (physics)  http://en.wikipedia.org/wiki/Spin_(physics)
8. 維基百科, Stern–Gerlach_experiment http://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Gerlach_experiment