過阻尼, 欠阻尼, 臨界阻尼

過阻尼 (Overdamping), 欠阻尼 (Underdamping), 臨界阻尼 (Critically damped)
國立臺灣大學物理學系101級 林聖翔

在講這個主題之前，必須討論阻尼是什麼

阻尼(damping)：

簡單地說，任何流體或系統有維持它們原有運動狀態的傾向，這是所謂的慣性。因此當一個物體在這個環境或系統中有一個相對於整個系統的速度（為了方便，之後所寫的速度的意思皆是指相對於系統的速度），這個環境、系統會傾向於施一個力去阻止它運動，這個作用的現象，我們稱之為阻尼。一般來說，阻尼的力會與物體運動的速度成正相關（不一定是正比）。

現在我們討論最簡單的例子，彈簧震盪時還受到一個阻尼，且阻尼力與物體的速度成正比：

\(\vec{F_d}=-c\vec{v}\)

，\(c\) 是某個特定常數跟當時環境的情況有關。

由於彈簧震盪時會受到一個跟它位置成正比的回復力，亦即 \(\vec{F_s}=-k\vec{x}\)

(\(x\) 是跟物體平衡位置的位移，\(k\) 則是彈簧係數)，所以這兩個力量會互相牽制、共同影響彈簧的運動。上述阻尼力、回復力的數學表示式中的負號，代表力量是跟它的速度或是位移方向相反。

因此，總作用力 \(F_{total}=-k\vec{x}-c\vec{v}\)

在細部討論此運動的數學解之前，我們先做定性上的討論。

阻尼就像是一個緩衝，但不同的阻尼大小會導致不同的運動結果，其分類如下：

過阻尼：因為阻尼很大、緩衝足夠，整個系統有足夠大的能力去將能量耗散，所以在回到平衡的過程中不會衝過頭，系統不會來回振動，而是單調地、緩緩地趨於平衡位置。(系統只能緩緩地趨於平衡位置，原因是大部分的回復力都被拿去克服阻尼。)

欠阻尼：則是阻尼小、耗散慢，所以回復力把系統拉回平衡位置後還會衝過頭，來回多做幾次週期振盪，但隨時間增加，振盪的振幅會越來越小。

臨界阻尼：它阻撓運動的能力是介在上述兩種情況中間，具有防止振盪所需的最低能力。

以下則是數學的探討(需要一點微分方程的概念)：

在前述振盪系統中，\(\vec{F_{total}}=-k\vec{x}-c\vec{v}\)

根據牛頓的第二定律 \(\vec{F}=m\vec{a}\)

我們可以得到 \(m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0\)

我們令 \(2\beta=\frac{c}{m},\omega^2_0=\frac{k}{m}\)，原式變成 \(\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega^2_0x=0\)

它的解：\(x(t)=e^{-\beta t}[A_1e^{(\sqrt{\beta^2-\omega^2_0})t}+A_2e^{-(\sqrt{\beta^2+\omega^2_0})t}]\)

故可分成三種阻尼的情形：

 定義 \(\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\) 為阻尼振盪的角頻率(angular frequency)(要注意，這不表示阻尼振盪是一個嚴格的周期運動，我們只是從它在欠阻尼情形下，在平衡點的時間差來定義)

欠阻尼的解

\(x(t)=Ae^{\beta t}\cos{(\omega_1t-\delta)}\)

\(\delta\) 跟初始條件有關

臨界阻尼的解

\(x(t)=(A+Bt)e^{-\beta t}\)

過阻尼的解

 \(x(t)=e^{-\beta t}[A_1e^{\omega_2 t}+A_2e^{-\omega_2 t}]\)

這裡的 \(\omega_2=-\omega_1\)。

圖1: 三種阻尼震盪的運動模式可以用這張圖表示，紅色代表欠阻尼、藍色代表臨界阻尼、黃色代表過阻尼(作者繪)

從圖1我們可以看到，假設平衡位置在 \(0\)，在回到平衡位置前，欠阻尼仍會做幾次振盪；臨界阻尼則會比過阻尼更早回到平衡點。

從之前討論的例子，我們可以就此作一些應用，例如在有些場合，門會有一個油壓裝置，主要是為了避免它直接撞擊造成噪音，但我們還有一個要求，希望它能儘快回到平衡位置，不然你就會看到門過很久才會闔上。從圖1 我們知道，如果使用過阻尼的方法，它必須要花比較多的時間，所以這並不是我們要的；欠阻尼則因為它還會多做幾次的振盪，無法符合我們的目的。因此在做這類的油壓系統，通常會希望它的阻尼效果盡量達到臨界阻尼。圖2中三個門的動畫說明了上述三種運動方式的差異。

圖2 (陳義裕繪)

參考文獻

1. Greenspan, Martin, Damping, McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology. 10th ed. Vol. 5. New York: McGraw-Hill, 2007. 235-236. Gale Virtual Reference Library. Web. 25 Jun. 2014.
2. Encyclopaedia Britannica, damping. http://www.britannica.com/EBchecked/topic/150616/damping m
3. 維基百科, 阻尼震盪. http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%98%BB%E5%B0%BC%E9%9C%87%E7%9B%AA