假設檢定

假設檢定(Test of Hypothesis)
國立臺灣大學農藝學系副教授 劉力瑜

某公司想了解在雞飼料中加入魚骨粉後，雞每月平均產蛋量是否高於原本餵食一般飼料的每月平均產蛋量 \(20\) 個，因此，以加入魚骨粉的飼料餵食 \(100\) 隻雞一段時間後，發現把魚骨粉加入飼料中餵食後，每隻雞每月平均產蛋量為 \(23\) 個。單純從數據來看，\(23 > 20\)，代表加入魚骨粉可提昇雞蛋產量嗎？其實不一定。

獲得「每隻雞每月平均產蛋量 \(23\) 個」的原因可能有兩種，一種就是如飼料公司預期的，因為在飼料中加入魚骨粉使得產量提高；另一種可能性，是因為與飼料無關的因素造成的結果：例如當時環境較適合雞生蛋、或者單純運氣好選出的 \(100\) 隻雞剛好產量較高等，這些因素在統計學上統稱為「隨機誤差」(random errors)。負責試驗的公司職員要如何得知獲得「每隻雞每月平均產蛋量 \(23\) 個」的原因究竟為何？最直觀的作法是比較前面兩種可能性的機率高低。

「推論統計學」即是基於機率論, 利用樣本進行假說檢定 (hypothesis testing)。上例中造成產蛋量提昇的原因在統計上稱為「假說」或「假設」，與施加特定因素造成之效應（飼料中加入魚骨粉使得產量提高）有關的假說稱為「對立假說」(alternative hypothesis)，意指對立於由隨機誤差造成之效應有關的假說。由於由隨機誤差造成之效應與欲探討特定因素無關，表示該特定因素「什麼也沒做」，因此統計上稱由隨機誤差造成之效應的假說為「虛無假說」(null hypothesis)。

為了計算與比較虛無假說和對立假說的可能性，必須指定兩種假說的對應的機率分布。上例中虛無假說對應的機率分布，可以從「原本餵食一般飼料的每月平均產蛋量 \(20\) 個」的經驗中，設定產蛋量服從平均值為 \(20\) 的常態分布 (normal distribution)，標記為 \(N (20, \sigma^2)\)，其中 \(\sigma^2\) 為產蛋量的族群變異數。因此，隨機抽取 100 隻蛋雞作為樣本，計算每隻雞的平均產蛋量 \(\bar{X}\)，根據統計理論的推導，\(\bar{X}\) 的機率分布為 \(N(20,\sigma^2/100)\)；此時 \(\bar{X}\) 的機率分布是依據虛無假說的情境所設置，因此此機率分布又稱為 \(\bar{X}\) 的「虛無分布」(null distribution)。

對立假說對應的機率分布較難設定。上例中得知在對立假說成立下，餵食添加魚骨粉飼料的產蛋量高於餵食一般飼料的產蛋量，假設此時的產蛋量亦服從常態分布、且其變異數同樣為 \(\sigma^2\)，若以 \(\mu\) 代表餵食添加魚骨粉飼料的平均產蛋量，我們只能設定餵食添加魚骨粉飼料的產蛋量的機率分布為 \(N (\mu, \sigma^2)\)，且 \(\mu>20\)。此時 \(\bar{X}\) 的機率分布應為 \(N(\mu,\sigma^2/100)\)，是依據對立假說的情境所設置，但由於 \(\mu\) 值未定，也就無法依據該機率分布計算任何機率值。

因此，我們就回到可以用以計算機率值的虛無分布。同樣根據經驗，我們知道產蛋量的變異數為 \(\sigma^2=9^2=81\)，因此，\(\bar{X}\) 的虛無分布為 \(N (20, 9^2)\)（圖一；以黑色實線表示）。雖然對立假說下 \(\bar{X}\) 的機率分布未定，但可以得知一定是平均值高於虛無分布的常態分布，在圖一中以紅色虛線表示其中一種可能性。由於此假說檢定中，對立假說的機率分布在虛無假說的右側，因此歸類為「右尾檢定」。

圖一 本文範例中雞蛋樣本平均產量在虛無假說下的機率分布 (黑色實線) 與在對立假說下的機率分布（紅色虛線）（本文作者劉力瑜繪）

由圖一看來，即使在虛無分布的情境下，得到樣本平均值為 \(23\) 個蛋是有可能的，但是在對立假說成立的情境下，得到樣本平均值為 \(23\) 的可能性似乎高一些。實際計算在虛無分布的情境下獲得樣本平均值大於或等於 \(23\) 的機率（虛無分布曲線下由 \(23\) 到無限大積分所得結果）為 \(0.0004\)，顯示在虛無假說的情境下，得到與 \(23\) 相同或超過 \(23\) 的機率微乎其微，因此，可以合理的推測虛無假說應不正確，藉以反證對立假說成立。

參考文獻

1. 沈明來 (2014)。生物統計學入門 (第六版)。臺灣。九州出版社。
2. Glover, T. and Mitchell, K. (2004). An Introduction to Biostatistics. New York, NY. McGraw-Hill.