利用Gnuplot軟體繪製似氫原子sp2的混成軌域（下）

利用Gnuplot軟體繪製似氫原子 $$sp^2$$ 的混成軌域（下）(H Hydrogen-like $$sp^2$$ hybrid orbital plots using gnuplot (II))
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏

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在圖二的指令集中，我們已經將 $$2s$$、$$2p_x$$、$$2p_y$$、$$sp^2(1)$$、$$sp^2(2)$$、$$sp^2(3)$$ 等 $$6$$ 個波函數分別依據（式-1）至（式-6）建置完成，分別以 s2orbital(x,y)、p2xorbital (x,y)、p2yorbital (x,y)、sp21orbital(x,y)、 sp22orbital(x,y) 、sp23orbital(x,y) 表示。

因此要畫 $$2p_y$$、函數的等高線圖，只要將倒數第二行的指令修改為 bpos(x,y) =p2yorbital(x,y) 即可，其他的波函數也是一樣，我們依序畫出 $$2p_x$$、$$2p_y$$ 的等高線圖，並將其合併為圖四，如下所示。

圖四、利用 gnuplot 繪製 $$2p_y$$（左圖）、$$2p_x$$（右圖）波函數在 $$xy$$ 平面上的等高線圖。（作者繪製）

由圖四的左圖可看出 $$2p_y$$ 為沿 $$y$$ 軸的對稱啞鈴形，節線出現在 $$x$$ 軸上。

而右圖的 $$2p_x$$ 為沿 $$x$$ 軸的對稱啞鈴形，節線出現在 $$y$$ 軸上。$$2p_y$$ 函數的上半部為正值，和 $$2s$$ 外圈的負值並不同號，因此，若 $$2p_y$$ 和 $$2s$$ 組合形成 $$sp^2(1)$$ 的混成波函數，則必須依(式-4)所列必須在 $$2s$$ 前乘一負號才有可能形成如圖一所示的圖形，因此我們利用 gnuplot 來驗證一下。

二、似氫原子的 $$2p^2$$ 波函數的等高線圖

欲繪製 $$2sp^2$$ 波函數的等高線圖，首先將圖二倒數第二行的指令修改為bpos(x,y) = sp21orbital(x,y)，重先執行指令集後，即可畫出圖形詳如圖五。

圖五、$$2s$$ 和 $$2p_y$$ 混成的 $$2sp^2(1)$$ 波函數之等高線圖（作者繪製）

由圖五可看出，等高線為 $$0$$ 的黑色節線向下彎曲，一些波函數值為正的等高線有一部分會出現在 $$y$$ 軸為負的區間，和原來 $$2p_y$$ 的等高線圖不一樣，其波函數為正的等高線均出現在 $$y>0$$ 的區間，為負的則出現在 $$y<0$$ 的區塊。其圖形雖然如圖一所示，上大下小，但是兩者的形狀並不一樣，上半部的圖形，其底部有凹進的地方。

另外，原子核的位置（即 $$x$$ 軸、$$y$$ 軸交錯的原點）是出現在波函數為負值的區域，並非如圖一所示是出現在波函數為正的區塊。如果想要標示出混成波函數的極大值及極小值，僅需在圖二指令集的最後一行之前加入下列程式即可，至於該段程式的功能及意義，已於前文中說明過，讀者可自行參考，或依據下列文字一一輸入即可，在圖五中混成波函數的極大值，以黑色的 ”x” 號顯示，而極小值則出現在在紅色的 ”x” 號處。

wmax=-1.0;wmin=+1.0

do for [i=0:100] {

do for [j=0:100] {

wx=(20./100.)*i

wy=(2.*pi/100.)*j

if (bpos(wx,wy)>=wmax) {wmax= bpos(wx,wy);xmax=wx;ymax=wy}

if (bpos(wx,wy)<=wmin) {wmin=bpos(wx,wy);xmin=wx;ymin=wy}

}

}

set label 1 at xmax*cos(ymax), xmax*sin(ymax), wmax point pt 2 lc “black”

set label 2 at xmin*cos(ymin), xmin*sin(ymin), wmin point pt 2 lc “red”

若將圖二指令集的倒數第二行的指令修改為：bpos(x,y) = sp22orbital(x,y)，重先執行指令集後，即可畫出圖六左邊的圖形。若將此行修改為：bpos(x,y) = sp23orbital(x,y)，則可得圖六的右邊圖形。如要標示極大值及極小值的位置，亦須將上述的一小段程式加入才能克盡其功。

圖六、依據（式-5）、（式-6）所繪製的 $$2$$ 個混成波函數 $$2sp^2(2)$$ 和 $$2sp^2(3)$$ 之等高線圖（作者繪製）

由圖五、六觀察可看出，三個 $$sp^2$$ 的波函數的等高線圖，形狀相同只是方位不一樣，由於 $$2p_z$$ 没有參加混成，此三者是在 $$xy$$ 平面上分佈的圖形，若將其極大值的座標加以換算，即可明瞭此三者的角度，相互間隔 $$120$$ 度。

若我們不以波函數做等高線圖，而是以機率密度，即波函數的平方做圖，則所得的等高線圖，應和上圖相似，極值的位置不會改變，唯圖中的等高線没有負值，有興趣的讀者可以自行嘗試。

三、結論

本文利用 gnuplot 軟體，繪製似氫原子的 $$sp^2$$ 混成波函數的等高線圖，由繪製出的圖形可看出，$$3$$ 個由 $$2s$$、$$2p_x$$ 和 $$2p_y$$ 混成的波函數，形狀相同而方位不同。若從單一個混成波函數中觀察，其函數值由於有相互加強或干涉的原因，其正、負值等高線圖的形狀並不相同，負值的部分較小，像有尖頭的橢圓形，而正值的部分較大，而呈現有凹槽的半月形。另外，原子核所在的位置，則出現在波函數為負的區域。

gnuplot 軟體的應用如人飲水，必須親自操作，方能體會其精髓所在，因此大力推薦給讀者，試者撰寫 $$sp$$ 及 $$sp^3$$ 混成波函數的指令集，從邊讀、邊做、邊學中，一定會有意想不到的功效。

本系列文章總共有 $$4$$ 篇，利用 gnuplot 軟體來繪製似氫原子的波函數形狀、機率密度函數及徑向分佈函數對原子半徑的分佈圖及混成波函數的等高線圖等，讓讀者可以親自將教科書中抽象的函數，轉化為具體的圖形，更可以藉由座標軸範圍的改變，局部放大或全面觀察各種圖形中關鍵性的變化，唯各篇之間有前後的連貫性，且由淺入深，希望讀者能按前言的介紹依序閱讀，較能有篇篇相連，前後呼應的整體感。另外，也希望讀者能引伸其用途，將其應用在不同的學科領域中。

參考文獻

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6. gnuplotスクリプトの解説｜米澤進吾 ホームページ http://www.ss.scphys.kyoto-u.ac.jp/person/yonezawa/contents/program/gnuplot/index.html
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8. Ira. N. Levine (2008), Physical Chemistry (6th ed.). McGRAW-HILL Book Company. p637~647.