束縛能

Posted on 2016/09/23 in 原子物理, 物理, 萬有引力定律, 近代物理學的簡介 Introductory Modern Physics, 運動與力 with 沒有迴響 14,356 views

束縛能 (Binding Energy)
國立臺灣大學物理學系碩士蔡亦涵

就字面意思來說，「束縛」就是有把你綁住的感覺，這個束縛如果越強，你就越難掙脫，需要更多的「能量」才能脫離，而這個足以脫離束縛的能量，就叫做束縛能 (binding energy)。

自然情況下，所有物質都會自然趨向最低位能 (potential energy) 的狀態，像是地球上空中的物體會自然掉落、異性電荷會自然吸引等等，而這些「自然趨向」是因為有某種作用力要將他們綁在一起，束縛能代表就是要抵抗這個作用力的功，也就是說如果物體能夠逃離作用力的範圍，可以說這物體克服束縛而自由了。

圖一、火箭欲脫離地球重力場的束縛。（本文作者蔡亦涵繪）

最熟悉的束縛能應該是天體運動中的束縛能，以地球為例，若現在要發射一枚火箭到太空中（圖一），也就是必須脫離重力場 (gravitational field) 的束縛，那至少需要多少能量呢？根據萬有引力公式：

$$\displaystyle F=\frac{GM_{earth}m_{rocket}}{R^2}$$

則在此位置的位能：

$$\displaystyle U=-\frac{GM_{earth}m_{rocket}}{R}$$

而脫離地球重力場的話位能要是 0，因此我們需要的能量：

$$\displaystyle E=0-\left(-\frac{GM_{earth}m_{rocket}}{R}\right)=\frac{GM_{earth}m_{rocket}}{R}$$

這個能量就是脫離重力場的束縛能。

圖二、電子受到原子核的庫倫靜電力吸引而束縛。（本文作者蔡亦涵繪）

另外一個常見的例子，原子結構中，若一個電子要擺脫束縛（圖二），電子需要的能量也是束縛能，又稱為游離能 (ionization energy)，那到底需要多少能量呢？用波耳 (Bohr) 的原子模型來看這個問題，根據角動量量子化的假設：

$$L=n\hbar=rmv$$

在距離原子核 $$r$$ 繞行的電子，其總能量為：

$$\displaystyle E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{kZe^2}{r}$$

根據向心力 (centripetal force) 的公式：

$$\displaystyle F=\frac{kZe^2}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$$

所以總能量可以改寫為：

$$\displaystyle E=-\frac{kZe^2}{2r}=-\frac{1}{2}mv^2$$

再把角動量量子化的條件代入：

$$\displaystyle E=-\frac{1}{2}m\left(\frac{n\hbar}{rm}\right)^2=-\frac{n^2\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}=-\frac{n^2\hbar^2}{2m}(-\frac{2E}{kZe^2})^2$$

最後可以得到能量 $$E$$：

$$\displaystyle E=-\frac{kmZ^2e^4}{2\hbar^2}\frac{1}{n^2}=-13.6\frac{Z^2}{n^2}(eV)$$

這就是電子脫離原子核的束縛能。在量子力學 (quantum mechanics) 中解薛丁格方程式 (Schrödinger equation) 也會得到這個結果。

圖三、核分裂反應，受到撞擊後突破束縛能而分裂。（本文作者蔡亦涵繪）

除此之外，原子間的化學鍵 (chemical bond) 使其結合成分子，這個化學鍵就是束縛能，也就是說，若要將原子從分子拆開，必須提供能量才有辦法破壞化學鍵而脫離束縛；原子核內的強交互作用 (strong interaction) 使質子、中子束縛在一起，若有足夠的能量克服束縛能，其中一些質子、中子就能夠脫離強交互作用，變成新的兩個原子核，此過程就是核分裂 (nuclear fission)（圖三）。

現在我們來想一下，若兩個原本沒有被束縛的物體，那為何會互相綁住呢？答案當然就是過程中有能量耗損。以重力場為例，想個物體因為萬有引力而互相靠近，靠近過程中會加速，最後撞在一起，假設是彈性碰撞 (elastic collision)，撞擊之後兩者會往反方向彈開，過程中因萬有引力作用開始減速，靜止後又開始加速靠近而撞在一起，一直這樣循環下去；實際情況不會是彈性碰撞，而是非完全彈性碰撞，所以每一次的撞擊都會耗損能量，能量可能是以熱的形式散失，最後被綁在一起了。再以原子核為例，兩個原子核撞擊之後，進入到強交互作用的範圍裡就會被束縛在一起，過程中一定有能量耗損，能量怎麼散失的呢？量測結果發現，量到的質量 (mass) 竟然比直接用剛剛兩個原子核相加理論的結果還要小，而這就要用到愛因斯坦 (Einstein) 提出的質能關係 (mass-energy relation)：

$$E=mc^2$$

這些消失的質量轉換成能量散失了，也就是說在這個束縛過程中，能量是以「減少質量」的方式耗損的，而上述這個過程就是核融合 (nuclear fusion)。

特別補充一點，所有的原子核中，平均每顆核子所具有束縛能最高的是鎳核，因此要進行核融合的話，原子的質量數比鎳核小的才有辦法進行，而要進行核分裂的話，原子的質量數則要比鎳核還要大，這也是為什麼核能發電廠是利用鈾原子進行核分裂，先受到撞擊脫離現在的束縛能，然後放出能量變成兩個束縛能總和更高的新原子。而恆星普遍進行的是氫的核融合反應來變成氦，以放出能量。

最後一言以蔽之，束縛能就是「脫離束縛的力達到自由所需的能量」。

參考文獻