過圓上一點求切線(二) (Finding the tangent line through a point on a circle Ⅱ)
過圓上一點求切線(二)(Finding the tangent line through a point on a circle Ⅱ)
國立臺灣師範大學數學所博士班黃俊瑋
連結:過圓上一點求切線(一)
前文〈過圓上一點求切線(一)〉裡,介紹了此問題的公式解以及另外兩類求切線方法。本文繼續介紹其它方法,其中包含了兩種與微分相關的方法。在此先重述一次原問題:
已知坐標平面上一圓之方程式為 \({(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} = 5\),
求過此圓上一點 \(P(3,1)\) 的切線方程式。
方法3圓心到切線距離等於半徑
先利用點斜式可假設過 \(P(3,1)\) 之切線方程式為:\(y-1=m(x-3)\)。
又如圖一所示,圓心到切線距離等於圓之半徑(\(d(O,L) = r\)),利用此關係以及點到直線距離公式可得:
\(\displaystyle\frac{{|m – 2 – 3m + 1|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \sqrt 5\)
此時,兩邊平方並進一步整理解之得 \(m=2\)。則所求切線為 \(y-1=2(x-3)\)。