數學史

西方行列式的發展：柯西的研究
（The Development of Determinants in West: Cauchy’s Work）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：西方行列式的發展：范德蒙的研究

雖然今日譯作「行列式」的詞 “determinantem”（即英文的“determinant”）是首次出現在高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) 於1801年出版的《算術研究》(Disquisitiones Arithmeticae) 中，但高斯是把它當作是字面意思來使用，即「決定的因素」，用以表示多元高次式的「判別式」，這和今日「行列式」的意義並不相同。

到了1812年，柯西 (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857) 在提交給法蘭西學院 (Institut de France) 的第二篇論文中（1815年出版），使用“déterminan”（即英文的“determinant”）來表示今日所稱的「行列式」，換言之，柯西才是使用「行列式」名詞的第一人。

在介紹柯西的行列式研究之前，我們必須先說明柯西在1812年之前的數學知識背景。首先，函數在19世紀是數學研究的熱門主題，柯西也是熱衷於各式函數的研究，他後來還對何謂函數下了定義，該定義已經十分接近今日函數的定義。其次，柯西十分熟悉范德蒙 (Alexandre-Theophile Vandermonde, 1735-1796)在行列式方面的研究（范德蒙並沒有使用行列式這名稱），在他1812年的論文中，多次提到了范德蒙的研究。然而，范德蒙的論文只是在呈現一種新的符號及其操作（參閱本網站〈西方行列式的發展：范德蒙的研究〉一文），並沒有函數的內涵。所以，柯西所做的，就是從函數的觀點來定義行列式。

西方行列式的發展：范德蒙的研究
（The Development of Determinants in West: Vandermonde’s Work）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：西方行列式的發展：范德蒙的生平(2)

范德蒙1772年提交法國科學院的論文〈關於消去法的報告〉(Mémoire sur l’Élimination)是數學家首度將行列式運算作為研究主題的論文。范德蒙一開始就對他的符號給出了定義 （見圖一）：

\(\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}} = \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ b \end{array}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ a \end{array}\)

\(\left. {\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}} = \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,a\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ c \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,b\,}}\)

\(\begin{array}{ll} \left. {\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\left. {\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,d\,}} &= \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,d\,}}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,d\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,a\,}}\; \\&+\;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ c \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,d\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,b\,}}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ d \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,c\,}}\\ \;\;\;\; \vdots \\ \;\;\;\; \vdots \end{array}\)

西方行列式的發展：范德蒙的生平(2)
（The Development of Determinants in West: Vandermonde’s Biography (2)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：西方行列式的發展：范德蒙的生平(1)

1772年范德蒙提交的第四篇論文，研究主題就是今日的行列式。范德蒙在這篇論文中，將行列式獨立成為一個數學研究對象（object），定義並推導相關性質後，再應用到一次方程組的解，也就是今日所謂的「克拉瑪公式」。在前人如萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)、克拉瑪 (Gabriel Cramer, 1704-1752)、貝祖 (Étienne Bézout, 1730-1783)等人的研究中都可發現今日行列式的運算，但那些運算都是依附在解方程組的過程之中，換言之，那些運算並沒有獨立成為數學的研究對象，被研究的主角是解方程組，而非這些運算。范德蒙正是因為這篇論文，才被推崇為行列式的創立者。那麼，究竟范德蒙在這篇論文之中是如何研究行列式的呢？這留待下一篇文章再作介紹。

范德蒙的研究並不侷限在數學之中，音樂和科學也有他的研究成果。例如1776年法國發生了一場嚴重的霜害，范德蒙就和數學家貝祖、化學家拉瓦錫 (Antoine-Laurent de Lavoisier, 1743-1794)作了一系列低溫的實驗，探討霜害產生的影響，並在1777年發表他們的研究結果。

西方行列式的發展：范德蒙的生平(1)
（The Development of Determinants in West: Vandermonde’s Biography (1)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：西方行列式的發展：貝祖的研究

范德蒙 (Alexandre-Theophile Vandermonde) 1735年生於巴黎；巴黎，也是他在1796年告別人世之地。范德蒙的生日與忌日，很巧合地，都是台灣的國定假日，分別是2月28日與1月1日，因此，當我們在台灣放假時，除了原有的紀念意義外，也不妨遙想這位數學家的貢獻，讓放假增添一點數學風味。

范德蒙的父親是一位醫生，擁有不錯的社會地位與經濟收入。但子承衣缽卻不是這位父親的選擇，自范德蒙年幼時，他就希望也鼓勵范德蒙成為一位音樂家。在父親的鼓舞下，數學並不是范德蒙年輕時感興趣的對象，小提琴才是。

直到35歲那年，受到數學家貝爾丹 (Alexis Fontaine des Bertins, 1704-1771)的熱情感召，才激起范德蒙對數學研究的興趣。當年，他就以非會員的身份在法國科學院宣讀一篇數學論文，這可說是一份殊榮。或許是貝爾丹的感召與科學院的光環，激發了范德蒙的研究潛能，他在短短兩年內就提交了四篇論文給科學院，奠定了他在數學史中的地位。1771年，范德蒙就被正式選為科學院的一員。35歲之前對數學沒什麼貢獻的音樂家，竟在36歲成了國家科學院的會員，這恐怕是空前絕後的紀錄了！范德蒙在提交給科學院的四篇論文中，第一篇 (1771)提出了方程式之根的 \(m\) 次和公式，並證明了當 \(n\) 是小於 \(10\) 的質數時，\(x^n-1=0\) 的解可用根式表達。第二篇 (1771)則是討論棋盤上騎士漫遊的問題，這主題看起來沒什麼實際應用，比較像是趣味數學，但其內在數學結構卻是和今日的拓樸學有關。第三篇 (1772)的內容與今日的高中數學有頗多的連結，值得我們進一步了解。

行列式的濫觴：萊布尼茲 (2)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (2)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (1)）

在〈行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)〉中，介紹了萊布尼茲透過所創立的數字符號，寫出三個二元一次方程式有共同解的條件，也就是相當於今日行列式的展開式。可惜的是，萊布尼茲與羅必達的通信，直到1850年才公開。在此之前，其他數學家並不知道萊布尼茲在這方面的成就。事實上，萊布尼茲是有意要隱瞞他的發現的，根據1863年公布的史料看來，萊布尼茲可能早在1678年就已經寫出這些結論，但一直把它當作祕密保守著。無怪乎，他會在信中向羅必達表示從未向其他人透露過這個巨大的發現。

利用係數來討論方程式的解，萊布尼茲並非第一人。事實上，無論是韋達還是笛卡兒，都有這方面的成果。不過，萊布尼茲獨特之處在於利用兩個足標來表示係數，這對以後無論是行列式或是矩陣理論的一般化提供了有利的工具。雖然他與羅必達的通信在1850年才公開，但他在1700-1710年間出版的兩份文件中，就已展現這種符號的使用。

行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (1)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

在本網站的文章中，中央大學單維彰老師的〈行列式的故事〉已簡略地介紹行列式發展歷史的大略，接下來這系列的文章，就是為它補上一些細節。首先登場的，就是萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646-1716)。

1693年4月28日萊布尼茲寫給羅必達 (Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital, 1661-1704)的信中，開門見山地寫道：

我一定沒有解釋得很清楚，所以你才會說你難以相信可以使用數字取代字母，像字母一般且便利的使用。如果允許將2、3等當作a或b來使用，而不是當作真的數字，那它的一般性就是無庸置疑的。以此方式，就不是6，而是ab。至於便利性，正是因為便利，所以我本身經常使用它們，特別是易於犯錯的冗長且困難的計算中。因為除了具備用數字來檢驗的便利性外，甚至是用「去9法」（註一）來檢驗，我還發現使用上有一個很大的好處，就是分析。雖然這是十分巨大的發現，但我還沒有告訴任何人，以下就是這個發現。

從這封信中可看出用文字符號來的使用在當時已經是十分自然的事了，現在萊布尼茲要反其道而行，用數字來代替文字，所以，羅必達在上封信中表達了自己的疑惑。由此，也可以看出，住在法國的羅必達透過信件往返，與身在日耳曼的萊布尼茲在數學上進行跨國交流。再者，羅必達對萊布尼茲來說，必定是相當在意的人，不然，萊布尼茲怎會透露自己的巨大發現，還強調從沒告訴過任何人。無論是搞神祕還是故意吹噓，都達到引人一探究竟的效果。

和算中的行列式(5)：拉普拉斯展開法（Determinants in Wasan (5): Laplace Expansion）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(4)：降階展開法

日本和算家對行列式展開的研究，在關孝和之後有了長足的進展。除了前文介紹過的井關知辰外，本文要介紹另一位和算家久留島義太 (Kurushima Yoshihiro, ?-1757)及其提出的行列式展開法，相當於今日所稱的「拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace, 1749-1827, 法國) 展開法」。

久留島義太屬於天才型的和算家，他對數學的認識並非來自老師的教導，而是從數學書《新篇塵劫記》中自學而來；後來與當時的和算家，特別是關流的和算家進行學術上的交流，豐富其數學研究的主題，並開拓新的研究領域，對後世和算的發展有著深遠的影響。因此，有人將他與關孝和、建部賢弘並稱為三大和算家。據後人的記載，久留島義太生性浪漫，雖然數學造詣很高，但沒有形成自己的門派，也沒有將著作出版，僅以稿本的形式在和算家間傳抄，身後留下《久氏遺書》一部。