二項式定理的推廣(四): 和算家的數學表(下)
二項式定理的推廣(四):和算家的數學表(下)
(The generalization of Binomial theorem(IV):the mathematical table of wasan mathematicians)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師
在〈二項式定理的推廣(三):和算家的數學表(上)〉一文中,提到江戶時期日本數學家(和算家)利用數學表的方式,推廣了二項式定理,以求得了 $$(1-x)^{-k}$$ 展開式之各項係數表。另一方面,在〈二項式定理的推廣(二)〉一文裡,也提到他們利用開方法(綜合除法,亦即中國傳入的賈憲-霍納法)求得了展開式:
$${(1 + x)^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…$$
有了上述展開式之後,即可以透過造表、觀察關係與規律的方式造出
$${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$、$${(1 + x)^{ – \frac{3}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{ – \frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$以及 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{7}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{\frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$之展開式。
利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{1}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$,利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$等。