機率

交換禮物中的機率問題（The probability of exchanging gifts）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

每到聖誕節時，許多人喜歡舉辦交換禮物活動，假設總共有 \(n\) 個人參與，規定每個人各自帶來一件禮物，收集所有人的禮物後，便將禮物貼上編號，每個人再從中隨機抽出一樣禮物帶回家。總有人幸運地抽中自己心儀的禮物，也似乎常會有人不幸地抽中自己所帶來的禮物，真的是這個人運氣不好嗎？再者，若參與的每個人都沒有抽中自己的禮物是正常的嗎？

首先，我們從簡單的情況開始討論起。

當 \(n=1\) 時，必定拿回自己的禮物，所以機率為 \(P(A_1)=1\)（不過，一般應該沒有人自己和自己交換禮物）。

當 \(n=2\) 時，假設有 \(A_1\) 與 \(A_2\) 兩個人，各拿出 \(G_1\) 與 \(G_2\) 兩個禮物。
這時，想像隨機將 \(G_1\) 與 \(G_2\) 兩個禮物排列，其中的第一個位置代表 \(A_1\) 的禮物、第二個位置代表 \(A_2\) 的禮物，則有 \(G_1G_2\) 和 \(G_2G_1\) 兩種可能性。
換句話說，要嘛兩個人都拿到對方帶來的禮物，要嘛拿回自己禮物，而且兩者機率相同，因此，有拿回自己禮物的機率為 \(P(A_1\cup A_2)=\frac{1}{2!}\)，其中 \(P(A_1\cup A_2)\) 指的是 \(A_1\) 或 \(A_2\) 拿回自己禮物的機率。

撲克牌遊戲與機率（二） (Poker game and the probability II)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：撲克牌遊戲與機率（一） 

〈撲克牌遊戲與機率（一）〉一文中，介紹了撲克牌遊戲─梭哈─的前五種牌型之組合數與出現機率，接下來，本文繼續介紹如何求得其它四種牌型的組合數與機率。最後，表列出各類牌型對應的組合數與機率之實際計算結果，並作一簡單討論與說明。

6. 三條（three of a kind）

所謂的三條指的是 \(5\) 張牌當中，有三張數字相同，另兩張則都不相同。

例如：\(AAAKQ\)、\(99962\)、\(777Q8\) 等皆是，亦即其牌型為 \(aaabc\)。

我們可以利用下述方式計算出其組合數：先從 \(13\) 個數字中選出 \(1\)個作為 \(a\)，

再從其它 \(12\) 個數字中選出 \(2\) 個作為 \(b\) 與 \(c\)（這裡請注意，\(bc\)不需考慮順序，直接一次選取即可。否則若依序選完 \(a\)，再選 \(b\)，再選 \(c\) 會發生重複的情況，例如 \(AAAKQ\) 與 \(AAAQK\)）。

接著，從 \(4\) 種花色的數字 \(a\) 恰選三張：\(C_3^{4}\)，從 \(4\) 種花色的數字 \(b\) 恰選一張：\(C_1^{4}\)，

最後，從 \(4\) 種花色的數字 \(c\) 恰選一張：\(C_1^{4}\)。

如此，利用乘法原理可計算出所有的三條共有：\(C_1^{13}C_2^{12}C_3^{4}C_1^{4}C_1^{4}=54,912\) 種。

其出現的機率為：\(\displaystyle\frac{C_1^{13}C_2^{12}C_3^{4}C_1^{4}C_1^{4}}{C_5^{52}}\)。此值約為 \(0.02113\)。

撲克牌遊戲與機率（一） (Poker game and the probability I)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

一副公正的撲克牌（Poker）共有四種花色（黑桃、紅心、方塊與梅花），各種花色包含\(13\)種數字（\(2\)、\(3\)、\(\cdots\)、\(10\)、\(J\)、\(Q\)、\(K\)、\(A\)）各一張，總共\(52\)張，有時會再加上\(2\)張鬼牌。而撲克牌相關遊戲種類相當多，其中，一種常見的遊戲方式是每人發五張牌，依據牌面花色與點數所形成的牌型來決定勝負（即一般人口中所謂的梭哈）。多年前，賭神、賭俠、賭聖系列等多部膾炙人口的電影，當中藉以比賽的撲克牌遊戲皆為此類。

遊戲當中，各類牌型的勝負比較如下：同花順 > 鐵隻 > 葫蘆 > 同花 > 順 > 三條 > 兩對 > 一對 > 其它（亂牌）。當然在同一牌型之下，必需依據相對應的數字大小來作比較。數字由大至小依序為：\(A>K>Q>J>10>9>\cdots>2\)；而在某些組合中 \(A\) 也可被視為 \(1\)。也由於各類牌型的機率計算上，僅需要古典機率與組合的概念即可，因此，無論是當年的聯考或者高中機率單元的補充教材裡，皆可看見此遊戲的蹤跡。

你也許會好奇，為什麼這些牌型大小需如此規定呢？問題的答案與機率有關。首先，從 \(52\) 張牌中取 \(5\) 張牌的所有可能性共有 \(C_5^{52}\) 種。以下，我們便對各類牌型的組合數與機率作一簡單討論與說明。在本文中，將先討論前五種牌型，而〈撲克牌遊戲與機率（二）〉中繼續討論另外四種牌型，並作進一步綜合討論。屆時讀者不難了解遊戲設計者如此規定的原因。

我們同一天生日（二）！（We have the same birthday!）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：我們同一天生日（一）！（We have the same birthday!）

〈我們同一天生日（一）〉一文中討論了下述問題：某一群人數共有 \(n\) 人，其中有某 \(2\) 個人同一天生日的機率為何？特別地，當這群人的人數到達 \(23\) 人以上時，有某 \(2\) 個人同一天生日的機率將大於 \(1/2\)。

該文中利用反面作法，先計算 \(n\) 個人生日皆不同天的機率為：

\(\frac{{365}}{{365}} \times \frac{{364}}{{365}} \times \frac{{363}}{{365}} \times\cdots\times \frac{{365 – n + 1}}{{365}}\)。

因此，\(n\) 個人當中有某 \(2\) 個人同一天生日的機率為：

\(1 – \left( {\frac{{365}}{{365}} \times \frac{{364}}{{365}} \times \frac{{363}}{{365}} \times\cdots\times \frac{{365 – n + 1}}{{365}}} \right)\) 。

欲計算不同的 \(n\) 相對應的機率，除了可以利用計算機與電腦之外，我們還可以利用對數的概念與查表的方式，計算出上述各機率值。這裡先來看看人數為 \(4\) 個人時的例子。

首先，計算出四個人生日皆不同天的機率 \(\frac{{364}}{{365}} \cdot \frac{{363}}{{365}} \cdot \frac{{362}}{{365}}\)，這裡我們取常用對數：

\(\begin{array}{ll}\log (\frac{{364}}{{365}} \cdot \frac{{363}}{{365}} \cdot \frac{{362}}{{365}})&=\log 364+\log 363+\log 362-3\log 365 \\ &=\log (3.64 \cdot {10^2}) + \log (3.63 \cdot {10^2}) + \log (3.62 \cdot {10^2}) \\&~~~- 3 \cdot \log (3.65 \cdot {10^2})\\&=\log 3.64 + \log 3.63 + \log 3.62 – 3 \cdot \log 3.65\end{array}\)

我們同一天生日（一）！（We have the same birthday!）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

生活中，許多人聚會的場合裡，不免會討論生日或星座問題。也許你會發現，當人數夠多時，總是會發生某兩人同一天生日的情況。特別是在同一個班級裡，人數動輒 \(40\) 人或更多時，總會有某兩個同學同一天生日，看起來非常不可思議。所謂有緣來相聚，這是巧合嗎？還是天註定？一群人裡，有某兩人要剛好同一天生日的機率直觀上似乎很低，但真是如此嗎？數學將帶你看穿真相！

以下，我們不考慮 \(2\) 月 \(29\) 日生日，僅考慮一年 \(365\) 天的一般情況。

首先，兩個人恰好在同一天生日的機率為 \(\frac{{C_1^{365}}}{{{{365}^2}}}\)，

亦即從一年 \(365\) 天當中選出一天將某這兩個人的生日塞進去。

或者你也可想成第一個人不指定哪一天，但第二個人必與第一個人同一天生日，

故機率為 \(\frac{{365}}{{365}} \cdot \frac{1}{{365}} = \frac{1}{{365}}\) 此值約為 \(0.0027\)。一片生日蛋糕（A piece of cake）！

獨立事件 (Indenpent Event)
國立蘭陽女中陳敏晧教師

已知 \(A\) 與 \(B\) 為樣本空間中的兩個事件，

若 \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)，則稱 \(A\) 事件與 \(B\) 為獨立事件；
若 \(P(A\cap B)\ne P(A)\cdot P(B)\)，則稱 \(A\) 事件與 \(B\) 為相關事件。

另一種解釋獨立事件的方式為當 \(B\) 事件的發生並不影響事件 \(A\) 發生的機率，
即 \(P\left( {A\left| B \right.} \right) = P\left( A \right) \Leftrightarrow \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = P\left( A \right) \Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)\)。

若已知事件 \(A\) 與 \(B\) 為獨立事件，則

1. \(A\) 與 \(B’\) 為獨立事件。其中 \(B’\) 為之補集合。
2. \(A’\) 與 \(A\) 為獨立事件。
3. \(A’\) 與 \(B’\) 為獨立事件。

證明：

(1) \(\begin{array}{ll}P\left( {A \cap B’} \right) &= P\left( A \right) – P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) – P\left( A \right)P\left( B \right) \\&= P\left( A \right) \cdot \left( {1 – P\left( B \right)} \right) = P\left( A \right)P\left( {B’} \right)\end{array}\)，得證。參閱圖一。

圖一