測試波函數的意義與玻色版本的 Moore-Read 波函數
蕭維翰
之前跟大家介紹的測試波函數不僅僅在霍爾物理中有用，即便在玻色愛因斯坦凝聚態的研究中也有貢獻。
圖片來源：作者自繪
有鑒於在先前幾篇已經提到了 Moore-Read 波函數的名字，筆者便想不如一鼓作氣再多說一點跟霍爾物理中測試波函數相關的事情。
要不要拿測試波函數來當科普題材一直筆者自己很掙扎的問題。在真正的物理研究中它們隨處可見，尤其在人們解析手法受限的強關聯問題中，如霍爾效應的物理。但另一方面它們卻也是極端技術性的，如果我不寫下任何方程式，我甚至很難跟大家說明定性上會發生什麼事，遑論是定量的結果。
但我覺得 Laughlin 波函數跟 Moore-Read 波函數這類的測試波函數，或許值得做一次嘗試性的討論。
v=5/2 量子霍爾態之謎（下）
蕭維翰
誰是描述 v=5/2基態的波函數？Pf, aPf, 還是其他的可能性？
在前兩篇文章中我們首先複習了量子霍爾效應，指出 \(v=\frac{5}{2}\) 的特別之處，並且對於 \(v=\frac{5}{2}\) 的其中一個強力候選波函數 —— Pf 態進行了一些定性上的介紹。我們也指出，Pf 態所內建有趣的數學性質，也間接反饋到實驗的研究，強化了人們對真實系統 \(v=\frac{5}{2}\) 量子霍爾態的興趣。
在本文中，我們將討論現今與 Pf 分庭抗禮的候選人（們）。
首先讓我們回憶，在本系列第一篇文章中的一個等式
\(\displaystyle v=\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\)
這個分解的意思是，在理論研究上，我們常常把這個態分解成兩個全填滿的蘭道階與一個半填滿的蘭道階。倘若蘭道階之間的交互作用可以省略，我們則可以把所有的物理投射到一個半填滿的蘭道階，這個問題在形式上就會接近其他在最低蘭道階的量子霍爾效應問題。
玻色子與費米子一：理論來源 (Bosons and Fermions Ⅰ: The Theory)
國立臺灣大學物理系 林惟淨
在量子物理的世界中，粒子可以分為玻色子 (Bosons) 與費米子 (Fermions) 兩類，它們分別以印度物理學家玻色 (Satyendra Nath Bose, 1894-1974) 與義大利物理學家費米 (Enrico Fermi, 1901-1954) 命名，以紀念兩人傑出的研究貢獻。在這篇文章中我們將著重於玻色子與費米子的理論來源，而在下篇文章中，我們將介紹一些這兩種粒子的特性。
利用Gnuplot軟體繪製似氫原子 $$sp^2$$ 的混成軌域（下）(H Hydrogen-like $$sp^2$$ hybrid orbital plots using gnuplot (II))
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏
連結：利用Gnuplot軟體繪製似氫原子sp2的混成軌域(上)
在圖二的指令集中，我們已經將 $$2s$$、$$2p_x$$、$$2p_y$$、$$sp^2(1)$$、$$sp^2(2)$$、$$sp^2(3)$$ 等 $$6$$ 個波函數分別依據（式-1）至（式-6）建置完成，分別以 s2orbital(x,y)、p2xorbital (x,y)、p2yorbital (x,y)、sp21orbital(x,y)、 sp22orbital(x,y) 、sp23orbital(x,y) 表示。
利用Gnuplot軟體繪製似氫原子 $$sp^2$$ 的混成軌域（上）(H Hydrogen-like $$sp^2$$ hybrid orbital plots using gnuplot (I))
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏
在量子化學的課程中，有關混成原子軌域(hybrid atomic orbitals)的部分，由於無可避免的必須探討複雜的數學方程式，加上没有相對應具體可觀察的軌域形狀、徑向分佈圖或等高線圖等，可隨需要即時翻轉角度、改變大小來做輔助，因此對於學子而言顯得格外抽象及困難。教師此時若能適時提供一種簡易學習、功能強大的繪圖軟體，勢必讓學習原子軌域有事半功倍之效，更能因此多學會一種繪圖技巧，相信對日後的研究工作有如虎添翼之便。
利用Gnuplot軟體繪製似氫原子軌域的等高線圖（下）(Using Gnuplot plot the contour map of hydrogen-like orbital (II))
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏
連結：利用Gnuplot軟體繪製似氫原子軌域的等高線圖（上）
圖四、利用 gnuplot 軟體繪製 $$3p_x$$ 軌域波函數的形狀及其等高線圖（作者繪製）
圖四中 $$z$$ 軸即為 $$3p_x$$ 波函數的值，由圖中可看出其值有正亦有負，正值代表在 $$xy$$ 平面上方有凸起的部分，有一個山峰及一個較平緩的小山丘，凹下去的部分為負值，有一個深的山谷及一平緩的小山溝。
利用Gnuplot軟體繪製似氫原子軌域的等高線圖（上）(Using Gnuplot plot the contour map of hydrogen-like orbital (I))
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏
學習原子軌域時，經常由於太過抽象，常使學習者敬而遠之，因此一般教科書均會各種圖形加以輔助說明，例如原子軌域的3D形狀、徑向分佈函數(radial distribution function)對原子半徑的變化圖及波函數的電子出現機率之等高線圖(contour map)等，但是學子仍然無法理解，這些圖形是如何繪製出來的？倘若有一個適宜的繪圖軟圖工具，讓學子親自繪製及感受各類軌域間的特徵及變化，相信對於學習效果會有事半功倍的效果。
利用Gnuplot軟體繪製似氫原子的徑向分佈函數（下）(Hydrogen-like radial distribution Plots Using Gnuplot (II))
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏
連結：利用Gnuplot軟體繪製似氫原子的徑向分佈函數（上）
接下來，探究第一個疑問，一般會出現這樣的矛盾，主要是將機率密度和徑向分佈函數 (radial distribution function) 弄混，前者是空間某一特定點電子出現的機率密度，而密度要乘上體積才是距原子核某特定距離電子出現機率的大小。
利用Gnuplot軟體繪製似氫原子的徑向分佈函數（上）(Hydrogen-like radial distribution Plots Using Gnuplot (I))
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏
學習原子軌域時，經常產生一個疑惑，即電子出現密度最大的地方，卻不是最容易找到電子的區域？教科書中常以 $$4\pi r^2\times|\psi^2|$$ 對原子半徑 $$(r)$$ 作圖來做解釋，卻不是直接以波函數 $$(\phi)$$ 或電子出現機率密度 $$(\psi^2)$$ 對 $$r$$ 作圖，為何還要乘上 $$4\pi r^2$$ 呢？ 究其不了解的原因，主要是數學式子太過抽象，教科書的圖形又無法親自繪製，很難從中領略其中的神髓。
利用 Gnuplot 軟體繪製似氫原子的軌域形狀（下）(Hydrogen-like orbital plots using gnuplot (II))
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏
連結：利用 Gnuplot 軟體繪製似氫原子的軌域形狀（上）
圖三的文字檔以 fourier.txt 存檔後，可在 gnuplot 視窗的游標列上輸入：load “fourier.txt”，讓 gnuplot 讀取檔案後，一次執行一系列的指令以完成任務，當然讀取檔案的路徑必須正確，若不正確則無法順利執行。當內定路徑無法找到檔案時，可利用視窗中 ChDir 的下拉式選項改變讀取檔案的路徑。