泰勒多項式(1) (Taylor Polynomials(1))
泰勒多項式(1) (Taylor Polynomials(1))
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師
請考慮下面的問題:
已知多項式函數 \(f(x)=-x^3+5x^2-8x+4\),求 \(f(0.99)\) 的值(四捨五入取到小數點以下第二位)。
儘管將 \(x=0.99\) 代入,即可求出函數值。
但 \(f(0.99) =- {(0.99)^3} + 5 \times {(0.99)^2} – 8 \times (0.99) + 4\) 繁複計算過程令人卻步。
因此,處理這類問題,通常採取下面的作法
- 步驟一:將 \(f(x)\) 表示成 \(f(x) = a + b(x – 1) + c{(x – 1)^2} + d{(x – 1)^3}\),
計算出 \(a,b,c,d\) 各值。此題的結果 \(a=0,b=-1,c=2,d=-1\) - 步驟二:將 \(x=0.99\) 代入,即可估取近似值。
以上題為例,由步驟一知,\(f(x) =- (x – 1) + 2{(x – 1)^2} – {(x – 1)^3}\)。所以,
\(\begin{array}{ll} f(0.99) &=-(0.99-1)+2\times{(0.99-1)^2}-{(1-0.99)^3}\\&=-(0.01)+2\times{(0.01)^2}-{(0.01)^3}\\&\approx -(0.01)=-0.01\end{array}\)
由步驟二的數值計算來看,應能推敲步驟一將原多項式改寫成以 \((x-1)\) 的冪次方升冪排列的多項式之用意。不過,進一步思考,上述解法正表明:當 \(1-\varepsilon\le x\le 1+\varepsilon\),其中的 \(\varepsilon\) 為足夠小的正數時,有 \(f(x)\approx -(x-1)\)。