邏輯

條件句與對偶命題 (Conditional and contrapositive statements)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

在數學上，有許多敘述句皆具有下列形式：\(P\) 蘊涵 \(Q\)

而它的意義即為：若 \(P\) 為真，則 \(Q\) 也必須為真 

此外，尚包含了其它與蘊涵相關的術語，例如：若 \(P\) 則 \(Q\) 、\(P\) 是 \(Q\) 的充分條件、\(P\) 唯若 \(Q\)、\(Q\) 若 \(P\) 以及 \(Q\) 是 \(P\) 的必要條件等，而這些術語的意義皆相同。例如，「若 \(n^2\) 為偶數，則 \(n\) 為偶數」、「若 \(x\) 與 \(y\) 皆為有理數，則 \(x+y\) 為有理數」以及「若 \(\Delta ABC\) 為直角三角形，則斜邊平方等於兩股之平方和」等，都是此類具蘊涵關係的敘述句。

一般而言，蘊涵關係包含了涉及真值（truth）的條件句與因果關係（causation）兩部份，我們以符號「\(P \Rightarrow Q\)」來表示 \(P\) 蘊涵 \(Q\) 的真值部份，並把具「\(P \Rightarrow Q\)」這種形式的句子，稱為條件表達式或簡稱為條件句。其中 \(P\) 的稱為前項或前件（antecedent）， \(Q\) 則稱為後項或後件（consequent）。

邏輯連詞「非」與笛摩根定律(The quantifier “not” and De Morgan’s laws)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

〈數學述句與邏輯連詞〉一文中，介紹了數學敘述與重要的邏輯連詞「且」、「或」與「非」。其中的「非」具是否定的意思，其宣告某個特定的敘述句為假。當「且」、「或」與「非」這三個邏輯連詞進一步混合使用時，會擦出什麼樣的火花呢？

更具體而言，複合敘述 \(P\land Q\) 與 \(P\lor Q\) 的否定敘述又是什麼意思呢？

例如下列敘述句  (3是奇數)\(\land\)(2是質數) 的否定敘述為何意呢？

(3是奇數)\(\land\)(2是質數)代表的是「3是奇數」與「2是質數」需同時成立，
因此，只要兩者之中有一項不成立，或兩者都不成立，即否定了原敘述。
如此來，無論「(3不是奇數)\(\land\)(2是質數)」、「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」
以及「(3不是奇數)\(\land\)(2不是質數)」都否定了原敘述「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」；
換言之，「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」的否定敘述「非(3是奇數\(\land\)2不是質數)」
包含了「非(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」、「(3是奇數)\(\land\)非(2不是質數)」
以及「非(3是奇數)\(\land\)非(2不是質數)」等情形。
因此，非「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」之意等同於「非(3是奇數)\(\lor\)非(2不是質數)」之意。
一般而言，我們可以證明 \(\neg(P\land Q)\) 等價於 \(\neg P\lor \neg Q\)。

數學敘述與邏輯連詞 (Mathematical statements and connectives)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

如〈數學敘述與邏輯量詞〉一文所述，一般數學敘述主要都是下列四種型式或其否定型態：

(1) 物件 \(a\) 具有性質 \(P\)。
(2) \(T\) 類中的每個物件，都具有性質 \(P\)。
(3) 存在一個 \(T\) 類中物件，具有性質 \(P\)。
(4) 若敘述 \(A\) 則敘述 \(B\)。

有了這四類敘述句之後，加上邏輯連詞「且」、「或」與「非」之後，便能造出新的敘述句。

一般而言，我們會以符號「\(\land\)」代表「且」的意思；以符號「\(\lor\)」代表「或」的意思。

其中，\(P\land Q\) 的意思是 \(P\) 與 \(Q\) 同時成立，\(P\land Q\) 也被稱為敘述 \(P\) 與敘述 \(Q\) 的合取句(conjunctions)。必需滿足 \(P\) 與  \(Q\) 同時為真，敘述句 \(P\land Q\) 方為真。

例如(\(\pi\) 是實數)\(\land\)(\(2\) 是質數)此命題即為真，而(\(\pi\) 是有理數)\(\land\)(\(2\) 是質數)則為假。

數學敘述與邏輯量詞 (Mathematical statements and quantifiers)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

高中數學課程中，介紹了什麼是數學敘述，以及「且」、「或」、「非」等邏輯連接詞。一般而言，數學敘述主要都是下列四種型式或其否定型態：

(1) 物件 \(a\) 具有性質 \(P\)。
(2) \(T\) 類中的每個物件，都具有性質 \(P\)。
(3) 存在一個 \(T\) 類中物件，具有性質 \(P\)。
(4) 若敘述 \(A\) 則敘述 \(B\)。

其它的數學敘述，只不過是上述四類形式中的敘述句，再利用「且」、「或」與「非」等邏輯連接詞，重新組合而成的新述句。

正多邊形拼貼（二）（Regular Tessellation II）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯

連結：正多邊形拼貼（一）

摘要：本文介紹有趣的正多邊形拼貼，只要有國中的知識，加上耐心就能解決問題。

延續上一篇所提出的問題，接下來要討論正多邊形拼貼的所有可能情形。

正多邊形拼貼（一）（Regular Tessellation I）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授

摘要：本文介紹有趣的正多邊形拼貼，只要有國中的知識，加上耐心就能解決問題。

看著五顏六色的圖案不斷延伸的磁磚或壁紙，是學生日常生活中最會注意到的幾何經驗之一。拼貼不是繪圖而是裝飾，工人不需要是畫家或設計者，而能製作出這些精美的效果，來自於其中簡單的重複性，也就是對稱性。

量詞（二）：量詞的順序（Order of Quantifiers）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯

連結： 量詞（一）：量詞與其否定

摘要：本文討論量詞的交換問題。

前一篇的命題中，除了「自然數無窮多」的命題外，量詞都只有一個。當量詞超過一個，它們的順序可不可以交換，就變成基本的問題。由底下的例子

$$\forall x\cdot\forall{y}\cdot x^2+y^2\ge 0$$ 和 $$\forall y\cdot\forall{x}\cdot x^2+y^2\ge 0$$，$$x,y$$ 是實數。

或者

$$\exists x\cdot\exists{y}\cdot x^2+y^2=0$$ 和 $$\exists{y}\cdot\exists{x}\cdot x^2+y^2=0$$，$$x,y$$ 是實數。

量詞（一）：量詞與其否定（Negation of Quantifiers）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯

摘要：介紹量詞的意思，並討論含量詞命題的否定。

一般人第一次聽到推理思考的例子，通常並不是命題演算中「若 $$P$$ 則 $$Q$$」的實質蘊涵，而是下面這類亞里士多德式的三段論法：

所有人都會死
柏拉圖是人
所以柏拉圖會死