平面上點到直線距離(三)
平面上點到直線距離(三) (The distance from a point to a line in the plane Ⅲ)
臺北市立和平高中教師黃俊瑋
連結:平面上點到直線距離(二)
本文承〈平面上點到直線距離(一)〉與〈平面上點到直線距離(二),繼續提出三類平面上點到直線距離的解法以及相關討論與連結。而本文中的各類解法,主要在直線上任取一點或兩點,造出新向量,所延伸出的方法。
方法5:在直線上任取一點,再利用平行與垂直性質
本類方法主要是引入直線上的一點後,充份利用直線的法向量與方向向量,輔以平行與垂直相關性質與關係,求得投影點與距離。
方法5-1:在直線上任取一點,再利用平行與垂直相關性質
在 \(L:3x+4y=10\) 任上取一點 \(P'(2,1)\),則 \(\vec{P’P}=(1,-7)\) ,
令 \(Q\) 為 \(P(3,-6)\) 在 \(L\) 的投影點,\(\vec{P’Q}\) 與直線之方向向量平行,可設為 \(\vec{P’Q}=t(4,-3)\)。
接下來,可發展出兩種方法,分別利用直線的法向量或方向向量,搭配平行與垂直關係進行解題:
5-1-1
則 \(\vec{QP}=\vec{P’P}-\vec{P’Q}=(1-4t,-7+3t)\) 平行直線 \(L:3x+4y=10\) 的法向量
分量成比例 \(\frac{{1 – 4t}}{{ – 7 + 3t}} = \frac{3}{4}\),可得 \(4(1-4t)=3(-7+3t)\),解之可得 \(t = 1\),
可得投影點為 \(Q(6,-2)\),則 \(\overline{PQ}\) 之距離 \(5\) 即為所求。
5-1-2
\(\vec{QP}=\vec{P’P}-\vec{P’Q}=(1-4t,-7+3t)\) 垂直直線 \(L:3x+4y=10\) 的方向向量
內積為 \(4(1 – 4t) + ( – 3)( – 7 + 3t) = 0\),解之可得 \(t = 1\),
可得投影點為 \(Q(6,-2)\),則 \(\overline{PQ}\) 之距離 \(5\) 即為所求(參考圖一所示)。