薛丁格方程式，波函數

薛丁格方程式 (Schrodinger equation)，波函數 (Wave function)
國立臺中女子高級中學物理科陳正昇老師/國立彰化師範大學吳仲卿教授責任編輯

薛丁格方程式是由奧地利物理學家薛丁格提出的量子力學中的一個基本方程式，用來計算一個量子系統的波函數，如何隨著時間發生演變。就好像牛頓運動定律在古典力學的地位，薛丁格方程式在量子力學裏也佔有極其重要的地位。

波函數 $$\Psi(\vec{x},t)$$ 是量子力學中用來描述粒子的德布羅意波的函數。波函數可以用來計算在量子系統中某個事件發生的機率振幅。而機率振幅的絕對值的平方 $$|\Psi(\vec{x},t)|^2$$，就是事件發生的機率密度。

波函數的另一個重要特性是相干性，兩個波函數疊加，機率的大小取決於兩個波函數的相位差，類似光學中的楊氏雙狹縫實驗。

薛丁格方程式的解，可以清楚地描述量子系統內，量子尺寸粒子的統計性量子行為。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像電子、質子、正子等等，或一組相同或不相同的粒子所構成的系統，像原子核或原子。薛丁格方程式可以轉換為海森堡的矩陣力學(matrix mechanics)，或費曼的路徑積分表述 (path integral formulation) 。

從歷史上回顧薛丁格方程式被發現的過程：

1905 年，愛因斯坦詮釋普朗克的量子為一種粒子，稱為光子；從此光波具有波-粒二象性。

1924 年，路易-德布羅意提出一個驚人的假設，每一種粒子都具有波-粒二象性。

1927 年，柯林頓-戴維孫(Clinton J. Davisson)和萊斯特-革末(Lester Germer) 將電子射擊於鎳晶體標靶，然後測量繞射電子的強度，偵測結果與X射線根據布拉格定律 (Bragg’s law) 計算的繞射圖案相同。戴維森-革末的實驗徹底證明了德布羅意物質波的假說。

薛丁格夜以繼日地思考這些先進理論，既然粒子具有波-粒二象性，應該會有一個能夠反應這特性的波動方程式，正確地描述粒子的量子行為。於是，經過一反努力，薛丁格方程式總算被找到了。薛丁格用這個方程式來計算氫原子的譜線，得到了與用波耳模型計算出的能階相同的答案。

薛丁格方程式有多種表示方式，但主要分為含時薛丁格方程式(time dependent Schrodinger equation)與不含時薛丁格方程式(time-independent Schrodinger equation)兩種。例如在一維空間裏，一個單獨粒子運動於位函數 $$V(x)$$ 中的含時薛丁格方程式為：

$$\displaystyle-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(\vec{x},t)+V(x)\Psi(\vec{x},t)=i\hbar\frac{\partial\Psi(\vec{x},t)}{\partial t}$$

其中，$$m$$ 是質量，$$x$$ 是位置，$$\Psi(\vec{x},t)$$ 是相依於時間 $$t$$ 的波函數，$$\hbar$$ 是約化普朗克常數。

不含時薛丁格方程式不相依於時間，又稱為本徵能量薛丁格方程式，或定態薛丁格方程式，

$$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi_E(x)+V(x)\Psi_E(x)=E\Psi_{E}(x)$$

參考資料

1. 維基百科http://zh.wikipedia.org/w/index. … B&variant=zh-tw