歐幾里得《幾何原本》的設準與公理（Postulates and common notions in Euclid’s Elements）

歐幾里得《幾何原本》的設準與公理（Postulates and common notions in Euclid’s Elements）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

設準與公理之別已經不見於今日數學，不過，釐清它們將可大大地幫助我們進入歐幾里得的幾何世界之中。 

現代數學的公設主義源自古希臘歐幾里得的《幾何原本》。因此，吾人若有意體會數學公設系統之精神，那麼，好好地研讀這一本流傳僅次於《聖經》的經典作品，向歐幾里得大師學習，的確是不二法門。

《幾何原本》以下列五個設準（postulate）作為基礎：設定下面敘述成為準則：

1. 從任何一點到任何一點可畫一直線。
2. 且一條有限直線可以持續地延長。
3. 且以任意點為圓心及任意距離可以畫圓。
4. 且凡直角都相等。
5. 且如果一條直線與另兩條直線相交，若同一側的兩個內角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後(if produced indefinitely)，會在內角小於兩直角的那一側相交。

設準 II 到 IV 的第一個字「且」，是連接「設定下面敘述成為準則」(Let it be postulated) 這個省略的句子)。事實上，這也是很多讀者（含數學家或科普作者）經常忽略的一句話，因為如此一來，他們顯然無法理解設準與公理（或共有概念）之區別，連帶地，第V設準與非歐幾何（non-Euclidean geometry）之古希臘聯繫，也變得比較不可思議。

再看設準的內容。設準I說明了任一個點，可透過所謂的線段與任何其它的點連接。設準 II 指的是，任一個線段可以不斷地延長。而此延長的結果，也代表可生成較長的線段。再根據相同的設準，此一較長的直線仍可重複地延長。我們知道設準之中「直線」一詞所對應的，是現代所謂的「線段」之概念，而「直線」這個概念所意指的無限直線之概念，並未在設準出現，但它的存在性卻隱含在設準 II 之中。按現代的術語改寫，設準 I 與設準 II 的內容可綜合如下：過任意兩點可畫一直線，任一條直線都是無限長的。

設準 III 所敘述的，是圓的存在性，並且，一個圓是由給定的圓心與半徑所決定。我們將設準 I 到設準 III 與亞里斯多德的「特殊概念」（special notion）作一比較。根據亞里斯多德的看法，基本概念的存在性必需利用特殊概念來設定。設準I至設準 III 可視為說明線段、直線與圓(現代的概念) 等基本概念存在性的特殊概念。雖然點的存在性並沒有明確地敘述，但歐幾里得顯然接受它的存在性。

設準 VI 與 V 的形式明顯與前三個設準大不相同，歐幾里得為什麼要將這五個設準放在一起之相關問題，也引發了討論。設準 I 至設準 III 皆是說明存在性的設準，因此，它們符合亞里斯多德關於特殊概念的想法。但這並不適用於設準 IV 與設準V。在設準 IV 之中，他並未說明直角的存在性，然而，我們卻被要求假設所有的直角都會相等。在設準 V 之中，我們也被要求必須接受滿足某些條件的兩條直線，會有一個交點。就設準IV與設準V而言，它們並不屬於「共有概念」（common notion），因為它們完全屬於幾何學的範疇。同時，由於這些設準的目的，並非構建某些幾何學基本概念的存在性或意義，因此，它們亦不是特殊概念。

如果歐幾里得完全依循亞里斯多德的觀點，他將必須屏除設準 IV 與設準 V。令人費解的是，他又為何執意加入這兩個設準呢？答案很簡單，若不接受設準 IV 與設準 V，吾人將無從建立起他的平面幾何系統。另一方面，則是由於他找不到適當的證明方法，來論證設準 IV 與設準V這兩個幾何事實為真。所以，他別無選擇地接受它們為真。又因為它們是不經證明即被接受的特定幾何學性質(並且不被用應到幾何學以外)，因此，將它們並列於其它設準之中，也是合理的。

因此，我們可以將歐幾里得所列舉的設準分為兩類：

1. 存在性設準，其中假設了某種基本概念的存在性（I到 III）；
2. 用來假設幾何圖形具有某種特定性質的相關設準（IV和V）。

另一方面，我們再回顧亞里斯多德有關演繹科學（inductive science）之要件：他認為除了設準之外，一個演繹科學應該奠基於共有概念(common notions) 或公理(axioms)。正如同我們所熟知，這些共有概念，並不單只是底蘊在某個特別科學而已，而是構成所有演繹思維的基礎。為了呼應亞里斯多德，歐幾里得也以共有概念作為出發點，如下所列：

1. 等於同量的量彼此相等。
2. 等量加等量，其和相等。
3. 等量減等量，其差相等。
4. 能重合的物，彼此相等。
5. 全體大於部份。

從上述的基礎開始，歐幾里得建立了《幾何原本》的幾何結構。為此，他試著滿足亞里斯多德的要求：1. 每個新的敘述句必需被證明；2. 每個新的概念都必需被定義，更進一步地，其存在性也必需被證明。為了理解歐幾里得的苦心造詣，讀者不妨試著研讀《幾何原本》第 I 冊的四十八個命題，其中主要處理了三角形的全等、平行線與面積，最終以畢氏定理和其逆定理為本冊作結。

有關共有概念或公理，還有一件事值得特別在此提醒。由於這些假設為所有亞里斯多德的演繹科學所「共有」，不能為幾何學所專擅，因此，讀者應該可以讀出其中所使用術語或名詞如同量、等量、重合的物、全體以及部分等等，都不是幾何名詞，甚至都不是數學名詞（mathematical term）。無怪乎現代數學家希爾伯特（David Hilbert）不會將這些納入他的《幾何學基礎》（Foundation of Geometry, 1899）的公理系統之中。

數學知識離不開社會文化脈絡，歐幾里得刻意區別設準與共有概念之進路，為我們現代人提供了最好的見證！

參考書目：

1. Bunt, Lucas N.H., Phillip S. Jones, Jack D. Bedient (1988). The Historical Roots of Elementary Mathematics. New York: Dover Publications, INC.
2. Heath, Thomas L. (1956). Thirteen Books of Euclid’s Elements. New York: Dover Publications, INC
3. 比爾‧柏林霍夫 / 佛南度‧辜維亞 (2008).《溫柔數學史》，台北：博雅書屋。